Se u=e^{a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}}, onde a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}=1, mostre que
\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}=u

Passo 1

O enunciado dá a função
u = e^{a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}}
e a condição
a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}=1.
A tarefa é mostrar que a soma das derivadas parciais segundas de u em relação a cada variável x_{i} é igual a u, ou seja mostrar que
\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}=u.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial primeira de u em relação a uma variável genérica x_{i}. Defina o expoente
A(x)=a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}.
Como u=e^{A(x)}, pela regra da cadeia temos que a derivada de e^{A(x)} é e^{A(x)} vezes a derivada de A(x). Assim
\frac{\partial u}{\partial x_{i}} = e^{A(x)}\cdot\frac{\partial A}{\partial x_{i}}.
Agora calcule \frac{\partial A}{\partial x_{i}}. Como A é uma soma linear em que apenas o termo a_{i}x_{i} depende de x_{i}, temos
\frac{\partial A}{\partial x_{i}}=a_{i}.
Substituindo na expressão acima obtemos
\frac{\partial u}{\partial x_{i}} = a_{i} e^{A(x)}.
Como e^{A(x)}=u, escrevemos de maneira compacta
\frac{\partial u}{\partial x_{i}} = a_{i} u.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada parcial segunda em relação a x_{i}. Diferenciando \frac{\partial u}{\partial x_{i}} = a_{i} u novamente em x_{i}, e lembrando que a_{i} é constante (não depende de x_{i}), temos
\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}^{2}} = a_{i}\,\frac{\partial u}{\partial x_{i}}.
Substitua a expressão da derivada primeira que já encontramos \frac{\partial u}{\partial x_{i}} = a_{i} u. Assim
\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}^{2}} = a_{i}\,(a_{i} u) = a_{i}^{2} u.
Observação didática: isso é simples porque a exponencial se reproduz nas derivadas e os coeficientes a_{i} aparecem como fatores constantes.

Passo 4

Somamos as segundas derivadas para todos os índices i=1,\dots,n:
\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}^{2}} = \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} u.
Como u não depende do índice de soma, podemos fatorá‑lo:
\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}^{2}} = \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right) u.

Passo 5

Usamos a condição dada no enunciado \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}=1. Substituindo na expressão anterior obtemos
\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}^{2}} = 1\cdot u = u.
Portanto a soma das derivadas parciais segundas de u é igual a u, como queríamos demonstrar.

Resposta

u

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