Se
, onde
, mostre que
Passo 1
O enunciado dá a função
e a condição
A tarefa é mostrar que a soma das derivadas parciais segundas de
em relação a cada variável
é igual a
, ou seja mostrar que
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial primeira de
em relação a uma variável genérica
. Defina o expoente
Como
, pela regra da cadeia temos que a derivada de
é
vezes a derivada de
. Assim
Agora calcule
. Como
é uma soma linear em que apenas o termo
depende de
, temos
Substituindo na expressão acima obtemos
Como
, escrevemos de maneira compacta
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada parcial segunda em relação a
. Diferenciando
novamente em
, e lembrando que
é constante (não depende de
), temos
Substitua a expressão da derivada primeira que já encontramos
. Assim
Observação didática: isso é simples porque a exponencial se reproduz nas derivadas e os coeficientes
aparecem como fatores constantes.
Passo 4
Somamos as segundas derivadas para todos os índices
:
Como
não depende do índice de soma, podemos fatorá‑lo:
Passo 5
Usamos a condição dada no enunciado
. Substituindo na expressão anterior obtemos
Portanto a soma das derivadas parciais segundas de
é igual a
, como queríamos demonstrar.