A resistência total R produzida por três condutores com resistência R_{1}, R_{2} e R_{3} conectados em paralelo em um circuito elétrico é dada pela fórmula
\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}

Passo 1

O enunciado fornece a relação entre a resistência total R e as resistências R_{1}, R_{2}, R_{3} quando os três condutores estão em paralelo:
\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}
Não há uma pergunta explícita no enunciado, mas a tarefa mais comum e útil aqui é isolar R e escrever R em função de R_{1},R_{2},R_{3}. Vou proceder para obter essa expressão explícita de R.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a operação que está ocorrendo: à direita temos a soma de três frações \frac{1}{R_{1}},\frac{1}{R_{2}},\frac{1}{R_{3}}. Para somar frações com denominadores diferentes, usamos um denominador comum. Uma escolha natural aqui é o produto R_{1}R_{2}R_{3} — é um denominador que serve para todas as três frações. Vou reescrever cada parcela com esse denominador comum.

Passo 3

Reescrevendo cada fração com denominador comum R_{1}R_{2}R_{3}:
  • Para \frac{1}{R_{1}}, multiplicamos numerador e denominador por R_{2}R_{3}, obtendo
\frac{1}{R_{1}}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}R_{3}}.
  • Para \frac{1}{R_{2}}, multiplicamos numerador e denominador por R_{1}R_{3}, obtendo
\frac{1}{R_{2}}=\frac{R_{1}R_{3}}{R_{1}R_{2}R_{3}}.
  • Para \frac{1}{R_{3}}, multiplicamos numerador e denominador por R_{1}R_{2}, obtendo
\frac{1}{R_{3}}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}}.
Esses passos usam a propriedade básica de frações: multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número não altera o valor da fração.

Passo 4

Agora somamos as três frações já com o mesmo denominador:
\frac{1}{R}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}R_{3}}+\frac{R_{1}R_{3}}{R_{1}R_{2}R_{3}}+\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}}.
Como os denominadores são iguais, somamos apenas os numeradores:
\frac{1}{R}=\frac{R_{2}R_{3}+R_{1}R_{3}+R_{1}R_{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}}.

Passo 5

Agora temos \frac{1}{R} igual a uma fração. Para isolar R, tomamos o recíproco (invertemos ambos os lados da igualdade). Antes disso, observação importante: isso só é válido se nenhum dos denominadores for zero, ou seja, assumimos R_{1}\neq 0, R_{2}\neq 0, R_{3}\neq 0, e também R\neq 0. Tomando recíproco em ambos os lados:
R=\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3}+R_{1}R_{3}+R_{1}R_{2}}.

Passo 6

Vamos interpretar a expressão obtida: o numerador é o produto das três resistências, e o denominador é a soma dos produtos de cada par de resistências. Essa forma é prática porque dá R diretamente a partir de R_{1},R_{2},R_{3} sem frações no lado direito.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (só pra você ver que funciona): se R_{1}=2\\ \Omega, R_{2}=3\\ \Omega, R_{3}=6\\ \Omega, então
R=\frac{2\cdot 3\cdot 6}{3\cdot 6 + 2\cdot 6 + 2\cdot 3}=\frac{36}{18+12+6}=\frac{36}{36}=1\\ \Omega.
Isso confirma que a fórmula funciona e mostra como fazer contas de cabeça ou no papel na prova.

Resposta

R=\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}

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