A temperatura em um ponto
de uma chapa de metal é dada por
, onde T é medido em
e
em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção de x .
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura
medida em
, e pede "a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção de
". Informações relevantes:
- A função
está definida para quaisquer . - O ponto onde avaliamos é
. - "Direção de
" significa o sentido do eixo , isto é o vetor unitário
A pergunta quer a taxa de variação direcional de
nesse ponto ao longo de
.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e prática): a taxa de variação de uma função
na direção de um vetor unitário
é o chamado derivada direcional. A fórmula é
onde
é o gradiente de
e
é produto escalar. O gradiente é o vetor de derivadas parciais:
No caso da direção
(direção positiva do eixo
), o produto escalar reduz-se a
Ou seja: a taxa de variação na direção de
é simplesmente a derivada parcial de
em relação a
. Isso faz sentido: mover só em
(com
fixo) mede quanto
muda por metro ao longo do eixo
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial
. Use a regra da cadeia: for
com
, tem-se
Calculando
, obtemos
Explicando passo a passo: a derivada de
é
vezes a derivada interna
; multiplicamos por 10 que é constante; e
enquanto
é tratado como constante.
Passo 4
Avaliar a expressão no ponto
. Substituindo
e
na fórmula encontrada:
Simplificando a fração:
Passo 5
Interpretação e unidade: a derivada parcial tem unidade
por metro, então a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção positiva de
é
. Isso significa que, perto de
, se se deslocar uma pequena distância
no sentido positivo de
(com
fixo), a temperatura aumenta aproximadamente
graus Celsius.