(1,0) A temperatura em um ponto (\mathrm{x}, \mathrm{y}) de uma chapa de metal é dada por T(x, y)=10 \ln \left(3+x^{2}+y^{2}\right), onde T é medido em { }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{x}, \mathrm{y} em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (2,5) na direção de x .

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura
T(x,y)=10\ln\bigl(3+x^{2}+y^{2}\bigr),
medida em {}^\circ\mathrm{C}, e pede "a taxa de variação da temperatura no ponto (2,5) na direção de x". Informações relevantes:
  • A função T(x,y) está definida para quaisquer x,y.
  • O ponto onde avaliamos é (2,5).
  • "Direção de x" significa o sentido do eixo x, isto é o vetor unitário
\mathbf{u}=(1,0).
A pergunta quer a taxa de variação direcional de T nesse ponto ao longo de \mathbf{u}.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): a taxa de variação de uma função T(x,y) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o chamado derivada direcional. A fórmula é
D_{\mathbf{u}}T(x,y)=\nabla T(x,y)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla T(x,y) é o gradiente de T e \cdot é produto escalar. O gradiente é o vetor de derivadas parciais:
\displaystyle \nabla T(x,y)=\bigl(\,\frac{\partial T}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)\bigr).
No caso da direção \mathbf{u}=(1,0) (direção positiva do eixo x), o produto escalar reduz-se a
D_{(1,0)}T(x,y)=\nabla T(x,y)\cdot(1,0)=\frac{\partial T}{\partial x}(x,y).
Ou seja: a taxa de variação na direção de x é simplesmente a derivada parcial de T em relação a x. Isso faz sentido: mover só em x (com y fixo) mede quanto T muda por metro ao longo do eixo x.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial \dfrac{\partial T}{\partial x}. Use a regra da cadeia: for T(x,y)=10\ln(s(x,y)) com s(x,y)=3+x^{2}+y^{2}, tem-se
\frac{\partial T}{\partial x}(x,y)=10\cdot\frac{1}{s(x,y)}\cdot\frac{\partial s}{\partial x}(x,y).
Calculando \dfrac{\partial s}{\partial x}=2x, obtemos
\frac{\partial T}{\partial x}(x,y)=10\cdot\frac{1}{3+x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{20x}{3+x^{2}+y^{2}}.
Explicando passo a passo: a derivada de \ln(s) é 1/s vezes a derivada interna s'; multiplicamos por 10 que é constante; e \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x enquanto y é tratado como constante.

Passo 4

Avaliar a expressão no ponto (2,5). Substituindo x=2 e y=5 na fórmula encontrada:
\frac{\partial T}{\partial x}(2,5)=\frac{20\cdot 2}{3+2^{2}+5^{2}}=\frac{40}{3+4+25}=\frac{40}{32}.
Simplificando a fração:
\frac{40}{32}=\frac{5}{4}=1{,}25.

Passo 5

Interpretação e unidade: a derivada parcial tem unidade {}^\circ\mathrm{C} por metro, então a taxa de variação da temperatura no ponto (2,5) na direção positiva de x é \dfrac{5}{4}\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}. Isso significa que, perto de (2,5), se se deslocar uma pequena distância \Delta x no sentido positivo de x (com y fixo), a temperatura aumenta aproximadamente \dfrac{5}{4}\Delta x graus Celsius.

Resposta

\dfrac{5}{4}\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}

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