A temperatura em um ponto (x, y) é T(x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após t segundos é dada por
x=\sqrt{1+t}, \quad y=2+\frac{1}{3} t
onde x e y são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz T(2,3)= 4 e T_{x}(2,3)=3. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
A temperatura em um ponto (x,y) é dada por T(x,y), medida em graus Celsius.
A posição do inseto após t segundos é
x=\sqrt{1+t},\qquad y=2+\frac{1}{3}t,
onde x e y estão em centímetros.
Sabemos que T(2,3)=4 e T_{x}(2,3)=3.
O que nos pedem: “Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?” — isto é, calcular \dfrac{d}{dt}\bigl[T(x(t),y(t))\bigr] avaliado em t=3.
Passo 2
Primeiro vamos achar a posição do inseto em t=3. Substituindo t=3 nas fórmulas da trajetória:
x(3)=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2,
y(3)=2+\frac{1}{3}\cdot 3=2+1=3.
Portanto, no instante t=3 o inseto está no ponto (2,3). (Note que esses valores coincidem com o ponto onde foram dadas as informações sobre T.)
Passo 3
Agora calculemos as derivadas das componentes da trajetória em função de t. Diferenciando:
Interpretação rápida: x'(3)=\tfrac{1}{4} significa que, naquele instante, a coordenada x do inseto aumenta a \tfrac{1}{4} cm/s; y'(3)=\tfrac{1}{3} cm/s é a velocidade na direção y.
Passo 4
Agora a ideia teórica-chave: regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se T depende de x e y e x e y dependem de t, então
T_x(x,y) é a derivada parcial de T em relação a x: a taxa de variação da temperatura (graus Celsius por centímetro) quando se varia x mantendo y fixo.
T_y(x,y) é a derivada parcial em relação a y: taxa de variação da temperatura quando se varia y mantendo x fixo.
Multiplicamos cada parcial pela velocidade correspondente x'(t) ou y'(t) (em cm/s) para obter a contribuição de cada direção para a variação temporal da temperatura (em graus Celsius por segundo).
Passo 5
Aplicando a fórmula da cadeia no instante t=3, avaliando T_x e T_y no ponto (2,3) e usando x'(3) e y'(3) calculados:
Comentário prático: não foi dada explicitamente a parcial T_y(2,3), por isso a taxa aparece em função de T_y(2,3). Se, por exemplo, T_y(2,3)=0 (temperatura não muda com y naquele ponto), a taxa seria \tfrac{3}{4} graus Celsius por segundo.
Passo 6
Interpretação final e unidade: o resultado \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}T_y(2,3) está em unidades de graus Celsius por segundo. Ele combina a contribuição da variação em x (que já está determinada) com a contribuição da variação em y (que depende de T_y(2,3)). Força de estudo: na prova, sempre que faltarem parciais, entregue a resposta em termos das parciais não dadas — como fizemos — e, se possível, comente casos especiais (por exemplo T_y=0 ou valores numéricos que facilitem checar plausibilidade). Força — está indo bem!
Resposta
\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}T_{y}(2,3)\\ \text{graus Celsius por segundo}