A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela função T(x, y, z) = x^2 - y^2 + z^2. Um mosquito localizado em 1,2,1 deseja esfriar-se o mais rápido possível. Em que direção e sentido ele deve voar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a temperatura do ar em pontos no espaço, dada pela função . Temos um mosquito na posição que quer esfriar-se o mais rápido possível. Para descobrir em qual direção e sentido ele deve voar, vamos precisar entender como a temperatura varia nesse espaço e qual direção leva a uma diminuição mais rápida da temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a direção em que a temperatura diminui mais rapidamente, usamos o gradiente da função temperatura. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Então, para esfriar-se o mais rápido, o mosquito deve voar na direção oposta ao gradiente.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde o mosquito está, que é :
Esse vetor aponta na direção de maior aumento da temperatura.

Passo 5

Como o mosquito quer diminuir a temperatura o máximo possível, ele deve ir na direção oposta ao gradiente. Então, a direção será .

Passo 6

Para ter a direção unificada, podemos normalizar esse vetor. Primeiro, calculamos o módulo do vetor :
Então, o vetor direcional normalizado é:

Resposta

O mosquito deve voar na direção , ou seja, na direção oposta ao gradiente da função temperatura no ponto , para esfriar-se o mais rápido possível.

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