Esboce o gráfico de
, com
. Além disso, determine os extremos globais desta função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
no intervalo de
e também encontrar os extremos globais dessa função. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções polinomiais, derivadas para encontrar extremos e analisar o comportamento da função nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função, que são os pontos onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser máximos ou mínimos locais, que nos ajudarão a encontrar os extremos globais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Vamos calcular a segunda derivada:
Em
:
Em
:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores de
nesses pontos críticos:
Em
:
Em
:
Passo 7
Além dos pontos críticos, precisamos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo, ou seja, em
e
:
Em
:
Em
:
Passo 8
Com esses valores, podemos identificar os extremos globais no intervalo
:
- Valor máximo: 16, ocorrendo em
e - Valor mínimo: -16, ocorrendo em
e
Resposta
Os extremos globais da função
no intervalo
são:
- Máximo global:
e - Mínimo global:
e
O gráfico dessa função apresenta um máximo de 16 nos pontos
e
, e um mínimo de -16 nos pontos
e
.