Esboce o gráfico de f(x) = x^3 - 12x, com -4 <= x <= 4. Além disso, determine os extremos globais desta função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função no intervalo de e também encontrar os extremos globais dessa função. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções polinomiais, derivadas para encontrar extremos e analisar o comportamento da função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função, que são os pontos onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser máximos ou mínimos locais, que nos ajudarão a encontrar os extremos globais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de é e a derivada de é . Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 5

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Vamos calcular a segunda derivada:
Em :
í
Em :
á

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores de nesses pontos críticos:
Em :
Em :

Passo 7

Além dos pontos críticos, precisamos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo, ou seja, em e :
Em :
Em :

Passo 8

Com esses valores, podemos identificar os extremos globais no intervalo :
  • Valor máximo: 16, ocorrendo em e
  • Valor mínimo: -16, ocorrendo em e

Resposta

Os extremos globais da função no intervalo são:
  • Máximo global: e
  • Mínimo global: e
O gráfico dessa função apresenta um máximo de 16 nos pontos e , e um mínimo de -16 nos pontos e .

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