Em que direção e sentido se deve seguir, começando da origem, para obter a taxa mais rápida de decrescimento da função f(x, y, z) = (2 - x - y)² + (3x + 2y - z + 1)² ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis, . A tarefa é descobrir em que direção e sentido a gente deve seguir, partindo da origem, para que a função diminua o mais rápido possível. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o uso do gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a direção de maior aumento de uma função ocorre na direção do gradiente dela. Portanto, para encontrar a direção de maior diminuição, a gente simplesmente vai na direção oposta ao gradiente. Então, nosso objetivo é calcular o gradiente de e depois inverter a direção.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
  1. Com relação a :
Simplificando:
  1. Com relação a :
Simplificando:
  1. Com relação a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente na origem, ou seja, quando , e .
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, o gradiente na origem é:

Passo 6

Como queremos a direção de diminuição mais rápida, a gente vai usar o vetor inverso do gradiente:

Passo 7

Para ter a direção correta, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário (com comprimento 1). Primeiro, calculamos o comprimento do vetor:
Então, o vetor unitário na direção de diminuição é:

Resposta

A direção de maior decrescimento da função, partindo da origem, é na direção do vetor unitário .

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