(*) A temperatura da superfície de uma certa estrela é 7000 K . A maioria dos átomos de hidrogênio na superfície da estrela estão no estado fundamental eletrônico. Qual a fração aproximada de átomos de hidrogênio que estão no primeiro estado excitado (e portanto poderiam emitir um fóton)? A energia do primeiro estado excitado, em relação ao estado fundamental, é \left(-13,6 / 2^{2} \mathrm{eV}\right)-(-13,6 \mathrm{eV})=10,2 \mathrm{eV}=1,632 \times 10^{-18} \mathrm{~J}.

Passo 1

O enunciado pede: qual a fração aproximada de átomos de hidrogênio na superfície da estrela (temperatura 7000\\ \mathrm{K}) que estão no primeiro estado excitado (nível n=2).
Dados fornecidos relevantes:
  • Temperatura: T=7000\\ \mathrm{K}.
  • Diferença de energia entre n=2 e n=1: \Delta E = 1,632\times10^{-18}\\ \mathrm{J} (já dada no enunciado).
  • Informação implícita: a maioria está no estado fundamental, então podemos usar a distribuição de Boltzmann para estimar a razão de populações entre níveis.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): distribuição de Boltzmann para níveis atômicos.
Em equilíbrio térmico, a razão entre o número de átomos no nível j e no nível i é dada por
\frac{n_j}{n_i}=\frac{g_j}{g_i}\exp\!\left(-\frac{E_j-E_i}{k_B T}\right),
onde:
  • n_j e n_i são as populações dos níveis j e i;
  • g_j e g_i são os fatores de degenerescência (número de estados diferentes com a mesma energia) dos níveis;
  • E_j-E_i é a diferença de energia entre os níveis (aqui \Delta E);
  • k_B é a constante de Boltzmann, k_B=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Explicando degrau a degrau: o fator exponencial \exp(-\Delta E/(k_B T)) dá a queda da população causada pela diferença de energia; o fator \frac{g_j}{g_i} ajusta pela quantidade de subestados disponíveis em cada nível (por exemplo diferentes valores de momento angular e spin).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: queremos a razão entre n=2 e n=1, ou seja \dfrac{n_2}{n_1}. Para o átomo de hidrogênio o número de subestados (incluindo spin) do nível principal n é g_n=2n^{2}. Portanto
g_1=2\cdot 1^{2}=2,\qquad g_2=2\cdot 2^{2}=8,
logo o fator de degenerescência é
\frac{g_2}{g_1}=\frac{8}{2}=4.

Passo 4

Agora escrevemos a expressão concreta:
\frac{n_2}{n_1}=4\exp\!\left(-\frac{\Delta E}{k_B T}\right).
Substituindo \Delta E=1,632\times10^{-18}\\ \mathrm{J}, k_B=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e T=7000\\ \mathrm{K}, calculemos o argumento da exponencial:
k_B T = 1,380649\times10^{-23}\times7000 = 9,664543\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Então
\frac{\Delta E}{k_B T}=\frac{1,632\times10^{-18}}{9,664543\times10^{-20}}\approx 16{,}89.

Passo 5

Calculemos a exponencial:
\exp\!\left(-\frac{\Delta E}{k_B T}\right)=\exp(-16{,}89)\approx 4{,}6\times10^{-8}.
Multiplicando pelo fator de degenerescência 4,
\frac{n_2}{n_1}\approx 4\times 4{,}6\times10^{-8}\approx 1{,}8\times10^{-7}.

Passo 6

Interpretação e aproximação final: como a maioria dos átomos está no estado fundamental, a população total n_{\text{total}} é muito próxima de n_1. Portanto a fração de átomos no primeiro estado excitado é aproximadamente
\frac{n_2}{n_{\text{total}}}\approx\frac{n_2}{n_1}\approx 1{,}8\times10^{-7}.
Isso significa que apenas umas poucas unidades em 10^{7} átomos estão no nível n=2 — ou seja, uma fração muito pequena.

Resposta

1,8\times10^{-7}

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