(*) A temperatura da superfície de uma certa estrela é 7000 K . A maioria dos átomos de hidrogênio na superfície da estrela estão no estado fundamental eletrônico. Qual a fração aproximada de átomos de hidrogênio que estão no primeiro estado excitado (e portanto poderiam emitir um fóton)? A energia do primeiro estado excitado, em relação ao estado fundamental, é
.
Passo 1
O enunciado pede: qual a fração aproximada de átomos de hidrogênio na superfície da estrela (temperatura
) que estão no primeiro estado excitado (nível
).
Dados fornecidos relevantes:
Dados fornecidos relevantes:
- Temperatura:
. - Diferença de energia entre
e : (já dada no enunciado). - Informação implícita: a maioria está no estado fundamental, então podemos usar a distribuição de Boltzmann para estimar a razão de populações entre níveis.
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida): distribuição de Boltzmann para níveis atômicos.
Em equilíbrio térmico, a razão entre o número de átomos no nível e no nível
é dada por
Em equilíbrio térmico, a razão entre o número de átomos no nível
onde:
-
e são as populações dos níveis e ; -
e são os fatores de degenerescência (número de estados diferentes com a mesma energia) dos níveis; -
é a diferença de energia entre os níveis (aqui ); -
é a constante de Boltzmann, ; -
é a temperatura absoluta em kelvin.
Explicando degrau a degrau: o fator exponencial
dá a queda da população causada pela diferença de energia; o fator
ajusta pela quantidade de subestados disponíveis em cada nível (por exemplo diferentes valores de momento angular e spin).
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: queremos a razão entre
e
, ou seja
. Para o átomo de hidrogênio o número de subestados (incluindo spin) do nível principal
é
. Portanto
logo o fator de degenerescência é
Passo 4
Agora escrevemos a expressão concreta:
Substituindo
,
e
, calculemos o argumento da exponencial:
Então
Passo 5
Calculemos a exponencial:
Multiplicando pelo fator de degenerescência
,
Passo 6
Interpretação e aproximação final: como a maioria dos átomos está no estado fundamental, a população total
é muito próxima de
. Portanto a fração de átomos no primeiro estado excitado é aproximadamente
Isso significa que apenas umas poucas unidades em
átomos estão no nível
— ou seja, uma fração muito pequena.