(**) Calcule a elevação de temperatura de um gás.
Você tem uma garrafa contendo um mol de um gás diatômico como nitrogênio ( \mathrm{N}_{2} ) ou oxigênio ( \mathrm{O}_{2} ). A temperatura inicial está no intervalo em que muitos níveis de energia rotacionais são excitados mas essencialmente não há excitação de estados vibracionais. Você esquenta esse gás diatômico com um aquecedor elétrico, que injeta Q=580 \mathrm{~J} de energia. De quanto é a elevação na temperatura do gás?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
\text{Dado: } n=1\\ \text{mol de um gás diatômico (N}_2\text{ ou O}_2\text{),}áô
\text{Dado: } Q=580\\ \mathrm{J}\\ \text{(energia fornecida por um aquecedor elétrico),}é
\text{Dado: temperatura inicial tal que muitos níveis rotacionais estão excitados,}íã
\text{e essencialmente nenhum nível vibracional está excitado.}íá
Pergunta do enunciado: qual é a elevação da temperatura do gás, isto é, \Delta T?

Passo 2

Entendendo os graus de liberdade do gás (explicação necessária para a conta).
  • Um gás diatômico tem, por molécula, três graus de liberdade translação (movimento nas direções x,y,z) e, quando os rotacionais estão excitados, dois graus de liberdade de rotação (o diatômico livre gira em torno de dois eixos perpendiculares à linha da molécula).
  • Modos vibracionais não estão excitados pelo enunciado, então não contamos graus vibracionais.
    Portanto o número total de graus de liberdade relevantes é
f = 3 \\ (\text{translação}) + 2 \\ (\text{rotação}) = 5.çãçã
Pequena intuição física: cada grau quadrático contribui com energia média \tfrac{1}{2}RT por mol (teorema da equipartição, explicado no próximo passo).

Passo 3

Ligando os graus de liberdade com a capacidade calorífica (aulas rápidas).
  • Pelo teorema da equipartição, para cada grau de liberdade quadrático a energia interna molar associada é \tfrac{1}{2}RT. Com f graus, a energia interna molar é \tfrac{f}{2}RT.
  • A capacidade calorífica molar a volume constante é a derivada da energia interna molar em relação a T, logo
C_V = \frac{d}{dT}\left(\frac{f}{2}RT\right) = \frac{f}{2}R.
Substituindo f=5 obtemos
C_V = \frac{5}{2}R.
Aqui R é a constante dos gases ideais: \;R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 4

Relação entre calor fornecido e variação de temperatura (por que usamos C_V).
  • A garrafa é assumida rígida (não foi dito que o gás expande fazendo trabalho), então o processo é, na prática, a volume constante. Numa transformação a volume constante, todo o calor fornecido vai para aumentar a energia interna: Q=\Delta U.
  • Para n mols isso dá
Q = n C_V \Delta T.
Isolando \Delta T:
\Delta T = \frac{Q}{n C_V}.

Passo 5

Substituição numérica e cálculo passo a passo.
  • Usando n=1, C_V=\tfrac{5}{2}R e R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, temos
\Delta T = \frac{Q}{1\cdot \frac{5}{2}R} = \frac{2Q}{5R}.
  • Colocando os números:
\Delta T = \frac{2\cdot 580}{5\cdot 8,314}.
Calculemos as partes:
2\cdot 580 = 1160,
5\cdot 8,314 = 41,57.
Logo
\Delta T = \frac{1160}{41,57}\approx 27,9\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma prática para duas casas significativas, \Delta T \approx 28,0\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Interpretação final (rápida motivação): com 580\\ \mathrm{J} num mol de N2/O2, como só há 5 graus ativos, cada grau recebe bastante energia, resultando numa elevação de temperatura da ordem de algumas dezenas de kelvin — consistente com o resultado numérico acima. Força aí: é um resultado fácil de lembrar na prova usando C_V=\tfrac{5}{2}R e Q=nC_V\Delta T.

Resposta

\Delta T \approx 28,0\\ \mathrm{K}

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