(**) Calcule a elevação de temperatura de um gás.
Você tem uma garrafa contendo um mol de um gás diatômico como nitrogênio (
) ou oxigênio (
). A temperatura inicial está no intervalo em que muitos níveis de energia rotacionais são excitados mas essencialmente não há excitação de estados vibracionais. Você esquenta esse gás diatômico com um aquecedor elétrico, que injeta
de energia. De quanto é a elevação na temperatura do gás?
Você tem uma garrafa contendo um mol de um gás diatômico como nitrogênio (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Pergunta do enunciado: qual é a elevação da temperatura do gás, isto é,
?
Passo 2
Entendendo os graus de liberdade do gás (explicação necessária para a conta).
- Um gás diatômico tem, por molécula, três graus de liberdade translação (movimento nas direções
) e, quando os rotacionais estão excitados, dois graus de liberdade de rotação (o diatômico livre gira em torno de dois eixos perpendiculares à linha da molécula). - Modos vibracionais não estão excitados pelo enunciado, então não contamos graus vibracionais.
Portanto o número total de graus de liberdade relevantes é
Pequena intuição física: cada grau quadrático contribui com energia média
por mol (teorema da equipartição, explicado no próximo passo).
Passo 3
Ligando os graus de liberdade com a capacidade calorífica (aulas rápidas).
- Pelo teorema da equipartição, para cada grau de liberdade quadrático a energia interna molar associada é
. Com graus, a energia interna molar é . - A capacidade calorífica molar a volume constante é a derivada da energia interna molar em relação a
, logo
Substituindo
obtemos
Aqui
é a constante dos gases ideais:
.
Passo 4
Relação entre calor fornecido e variação de temperatura (por que usamos
).
- A garrafa é assumida rígida (não foi dito que o gás expande fazendo trabalho), então o processo é, na prática, a volume constante. Numa transformação a volume constante, todo o calor fornecido vai para aumentar a energia interna:
. - Para
mols isso dá
Isolando
:
Passo 5
Substituição numérica e cálculo passo a passo.
- Usando
, e , temos
- Colocando os números:
Calculemos as partes:
Logo
Arredondando de forma prática para duas casas significativas,
.
Passo 6
Interpretação final (rápida motivação): com
num mol de N2/O2, como só há 5 graus ativos, cada grau recebe bastante energia, resultando numa elevação de temperatura da ordem de algumas dezenas de kelvin — consistente com o resultado numérico acima. Força aí: é um resultado fácil de lembrar na prova usando
e
.