(**) Calcule a elevação de temperatura de um gás.
Você tem uma garrafa contendo um mol de um gás monoatômico como hélio ou neônio. Você esquenta esse gás monoatômico com um aquecedor elétrico, que injeta Q=580 \mathrm{~J} de energia. De quanto é a elevação na temperatura do gás?

Passo 1

O enunciado pede a elevação da temperatura de um gás monoatômico contido numa garrafa quando recebe Q=580\\ \mathrm{J} de energia. As informações relevantes são:
  • Quantidade de substância: n=1\\ \mathrm{mol}.
  • Energia fornecida: Q=580\\ \mathrm{J}.
  • Gás monoatômico (por exemplo hélio ou neônio).
  • Garrafa (assumo aqui que é rígida, ou seja, volume constante — se a garrafa pudesse variar de volume a solução seria diferente).
    A pergunta a responder é: qual é a variação de temperatura \Delta T do gás após injetarem 580\\ \mathrm{J}?

Passo 2

Vamos aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica em forma simples. A Primeira Lei diz que a variação de energia interna \Delta U do gás é a energia que entrou por calor Q menos o trabalho W realizado pelo gás:
\Delta U = Q - W.
Aqui, se a garrafa é rígida (volume constante), o gás não realiza trabalho de expansão, então W=0. Logo,
\Delta U = Q.
Explicação curta: trabalho por expansão de gás é W = p\,\Delta V; com \Delta V=0 temos W=0.

Passo 3

Para um gás ideal monoatômico a energia interna depende somente da temperatura e, por mol, vale
U = \frac{3}{2} R T,
onde R é a constante universal dos gases e T a temperatura em kelvin. Aqui:
  • \frac{3}{2} vem dos 3 graus de liberdade translatórios de uma partícula monoatômica (cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}R por mol para a capacidade térmica).
    Dessa forma, a variação de energia interna para n mols é
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante. Para gás monoatômico ideal,
C_V = \frac{3}{2}R.
Expliquei: C_V é quanto de energia (em J) precisa fornecer para elevar a temperatura de 1 mol do gás em 1\\ \mathrm{K} quando o volume é mantido constante.

Passo 4

Como \Delta U = Q (Passo 2) e \Delta U = n C_V \Delta T (Passo 3), igualando,
n C_V \Delta T = Q.
Isolando \Delta T,
\Delta T = \frac{Q}{n C_V}.
Substituindo C_V=\dfrac{3}{2}R obtemos a forma prática
\Delta T = \frac{Q}{n\left(\dfrac{3}{2}R\right)} = \frac{2Q}{3 n R}.

Passo 5

Agora vamos colocar os valores numéricos. A constante dos gases é
R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Calculamos C_V:
C_V = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2}\cdot 8{,}314 = 12{,}471\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 6

Com n=1\\ \mathrm{mol} e Q=580\\ \mathrm{J},
\Delta T = \frac{Q}{n C_V} = \frac{580}{1 \cdot 12{,}471} \approx 46{,}5\\ \mathrm{K}.
Fazendo a conta direta também pela fórmula \Delta T = \dfrac{2Q}{3 R} dá o mesmo resultado numérico.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: a temperatura aumenta cerca de 46{,}5\\ \mathrm{K}. Note que para um gás ideal monoatômico em volume constante a variação de temperatura depende apenas da energia fornecida e da quantidade de mols, não do valor inicial de temperatura. Boa! Você conseguiu — se aparecer uma variante com expansão (volume não fixo) a abordagem muda porque parte da energia vira trabalho, e aí usamos C_P ou analisamos o trabalho explicitamente.

Resposta

46{,}5\\ \mathrm{K}

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