A temperatura T em qualquer ponto (
) do plano é dada por
. Qual a temperatura máxima e a mínima em um disco fechado de raio 1 centrado na orígem, isto é, sujeito a
?
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
- A função temperatura é
. - O domínio é o disco fechado de raio
centrado na origem, ou seja . - O enunciado pede a temperatura máxima e a mínima no disco fechado (ou seja, extremos globais sobre o conjunto compacto dado).
Informações relevantes que já temos prontas para usar:
- Para achar extremos de uma função diferenciável num conjunto fechado e limitado, devemos verificar:
- pontos críticos internos (onde o gradiente é nulo) e
- extremos na fronteira (aqui a fronteira é a circunferência
).
A partir daqui eu vou calcular os pontos críticos internos e depois os possíveis extremos sobre a fronteira, comparar os valores e decidir qual é máximo e qual é mínimo.
Passo 2
Procuremos pontos críticos no interior do disco: são pontos onde o gradiente de
é o vetor nulo.
Pequena aula rápida (estilo prático): o gradiente de
é o par das derivadas parciais. Onde o gradiente é zero, a função pode ter máximo, mínimo ou ponto de sela. Depois comparamos com valores na fronteira para saber se é extremo global.
Calcule as derivadas parciais:
Zerando ambas:
Logo há exatamente um ponto crítico interno:
. Esse ponto está no disco porque
.
Calcule a temperatura nesse ponto:
Observação sobre classificação: a Hessiana aqui é
, em
dá
, o que não é definida positiva nem negativa — então não é possível concluir tipo de extremo apenas por Hessiana. De qualquer forma, para decidir globalmente precisamos comparar com os valores na fronteira.
Passo 3
Agora vamos estudar a fronteira: a circunferência
. Dois métodos comuns: parametrizar com
e reduzir a um problema de uma variável, ou usar multiplicadores de Lagrange. Vou usar Lagrange porque dá equações claras e depois resolverei numericamente o sistema resultante — explico tudo.
Método de Lagrange (mini-aula): para maximizar/minimizar
sujeito à restrição
, procura-se
, ou seja:
Isto gera o sistema:
Passo 4
Resolver o sistema de Lagrange. Tratamos casos:
Caso A:
. Pela restrição
.
- Em
: . - Em
: .
Caso B:
. Então da segunda equação podemos dividir por
e obter
Substituindo em
obtemos
ou
Esse
deve ainda satisfazer a restrição
. Substituindo
obtemos a equação (algebra pura):
Multiplicando e simplificando isso produz um polinômio de quarto grau em
. Não vou desenvolver todo o polinômio pesado aqui (dá um quartico), mas é a mesma equação que aparece se fizermos a parametrização trigonométrica e eliminarmos a variável. Essa equação pode ter até quatro soluções
com
. Vamos encontrá-las numericamente (procedimento padrão em prova quando o polinômio fica pesado): faremos busca por sinais (bissecção) e refinar.
Passo 5
Resolver numericamente
para
.
Para maior clareza, reescrevo como função a zerar:
que é equivalente à equação anterior (multiplicando ambos os lados por
).
Usando análise de sinais e refinamento (método da bissecção) encontram-se quatro raízes reais
no intervalo
(duas positivas, duas negativas). As aproximações numéricas (com arredondamento a 4 casas decimais nas coordenadas) são:
-
. Então . -
. Então . -
. Então . -
. Então .
(Observação: as soluções aparecem em pares simétricos porque a equação é polinomial com coeficientes reais; as aproximações acima foram obtidas por bissecção/refinamento e checadas substituindo de volta na equação de Lagrange.)
Passo 6
Calculemos
em todos os candidatos (pontos críticos internos e pontos da fronteira obtidos):
- Ponto crítico interno:
:
- Pontos da fronteira do Caso A:
- Pontos da fronteira do Caso B (usar
e as coordenadas aproximadas):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Verificação rápida dos valores já calculados: entre todos esses, o maior valor aproximado é
(em
), e o menor é
(em
). O ponto interno
fica entre esses extremos, logo não é extremo global.
Passo 7
Conclusão final: os extremos globais sobre o disco ocorrem na fronteira:
- Temperatura máxima aproximada
atingida em . - Temperatura mínima aproximada
atingida em .
Esses valores foram obtidos resolvendo as equações de Lagrange para a fronteira e comparando todos os candidatos (inclusive o ponto crítico interno e os pontos triviais
). Em uma prova sem calculadora espera-se montar as equações até aqui e, dependendo do contexto, justificar a resolução numérica ou dar aproximações com poucas casas decimais.
Resposta
Temperatura máxima:
em
.
Temperatura mínima: em
.
Temperatura mínima: