Uma labrica de produtos quimicos tem uma area retangular de 600 metros quadrados para construir uma área de produção. Determine as dimensões do espaço retangular que minimizam o perimetro.

Passo 1

O enunciado dá um espaço retangular com área de 600 metros quadrados e pede: quais são as dimensões (comprimento e largura) que minimizam o perímetro desse retângulo?
Informações fornecidas:
  • Área conhecida: A=600 (em metros quadrados).
  • Quer-se minimizar o perímetro do retângulo.
O que precisamos encontrar:
  • Os valores positivos dos lados x e y (em metros) tais que x\cdot y=600 e o perímetro P=2(x+y) seja mínimo.

Passo 2

Definir variáveis e escrever as relações básicas.
Seja x e y os comprimentos dos dois lados do retângulo (ambos em metros). Então:
xy = 600
e o perímetro é
P = 2(x+y).
Aqui x e y são números positivos porque representam comprimentos.

Passo 3

Reduzir o problema a uma única variável usando a restrição da área.
Da relação \,xy=600, podemos isolar y em função de x:
y=\frac{600}{x}.
Substituindo na expressão do perímetro obtemos uma função de uma variável:
P(x)=2\!\left(x+\frac{600}{x}\right).
O domínio relevante é x>0, pois comprimentos são positivos.

Passo 4

Entendendo o método: mínimo de função de uma variável e derivada.
Para encontrar o mínimo de uma função suave P(x) em x>0, um procedimento padrão é:
  • calcular a derivada P'(x),
  • encontrar os pontos críticos onde P'(x)=0,
  • verificar que esses pontos dão mínimo (por exemplo via segunda derivada).
Breve intuição da derivada: P'(x) mede a taxa de variação instantânea de P quando x muda. Zerar a derivada busca pontos onde a função deixa de crescer e pode começar a diminuir (ou vice-versa).

Passo 5

Calcular a derivada e achar o ponto crítico.
Começando de
P(x)=2\!\left(x+\frac{600}{x}\right),
derivamos em relação a x. Lembre que a derivada de x é 1 e a derivada de 600/x é -600/x^2. Assim:
P'(x)=2\!\left(1-\frac{600}{x^{2}}\right).
Resolver P'(x)=0:
2\!\left(1-\frac{600}{x^{2}}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad 1-\frac{600}{x^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{600}{x^{2}}=1
\Rightarrow\quad x^{2}=600 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{600}.
Como x>0, pegamos x=\sqrt{600}. Podemos simplificar \sqrt{600}=\sqrt{100\cdot6}=10\sqrt{6}.

Passo 6

Determinar o outro lado e verificar que é mínimo.
Usando y=600/x e x=10\sqrt{6}:
y=\frac{600}{10\sqrt{6}}=\frac{60}{\sqrt{6}}.
Racionalizando ou simplificando:
\frac{60}{\sqrt{6}}=\frac{60\sqrt{6}}{6}=10\sqrt{6}.
Logo y=x=10\sqrt{6}. Ou seja, o retângulo é um quadrado.
Para confirmar que esse ponto é mínimo, calculamos a segunda derivada:
P''(x)=2\cdot\frac{1200}{x^{3}}=\frac{2400}{x^{3}}.
Para x>0 temos P''(x)>0, portanto P é convexa e o ponto crítico encontrado é realmente um mínimo.

Passo 7

Interpretação e dica prática para a prova.
Resultado: entre todos os retângulos com área fixa, aquele que tem menor perímetro é o quadrado. Isso pode ser mostrado também por desigualdade AM-GM, mas o cálculo via derivadas é direto e seguro: basta expressar uma variável em função da outra e minimizar a função do perímetro. Na prova, faça como fiz aqui: colocar y=\dfrac{A}{x}, obter P(x), derivar, resolver P'(x)=0 e confirmar com P''(x)>0.

Resposta

10\sqrt{6}\\ \text{m} \times 10\sqrt{6}\\ \text{m}

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