Uma labrica de produtos quimicos tem uma area retangular de 600 metros quadrados para construir uma área de produção. Determine as dimensões do espaço retangular que minimizam o perimetro.
Passo 1
O enunciado dá um espaço retangular com área de
metros quadrados e pede: quais são as dimensões (comprimento e largura) que minimizam o perímetro desse retângulo?
Informações fornecidas:
- Área conhecida:
(em metros quadrados). - Quer-se minimizar o perímetro do retângulo.
O que precisamos encontrar:
- Os valores positivos dos lados
e (em metros) tais que e o perímetro seja mínimo.
Passo 2
Definir variáveis e escrever as relações básicas.
Seja
e
os comprimentos dos dois lados do retângulo (ambos em metros). Então:
e o perímetro é
Aqui
e
são números positivos porque representam comprimentos.
Passo 3
Reduzir o problema a uma única variável usando a restrição da área.
Da relação
, podemos isolar
em função de
:
Substituindo na expressão do perímetro obtemos uma função de uma variável:
O domínio relevante é
, pois comprimentos são positivos.
Passo 4
Entendendo o método: mínimo de função de uma variável e derivada.
Para encontrar o mínimo de uma função suave
em
, um procedimento padrão é:
- calcular a derivada
, - encontrar os pontos críticos onde
, - verificar que esses pontos dão mínimo (por exemplo via segunda derivada).
Breve intuição da derivada:
mede a taxa de variação instantânea de
quando
muda. Zerar a derivada busca pontos onde a função deixa de crescer e pode começar a diminuir (ou vice-versa).
Passo 5
Calcular a derivada e achar o ponto crítico.
Começando de
derivamos em relação a
. Lembre que a derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim:
Resolver
:
Como
, pegamos
. Podemos simplificar
.
Passo 6
Determinar o outro lado e verificar que é mínimo.
Usando
e
:
Racionalizando ou simplificando:
Logo
. Ou seja, o retângulo é um quadrado.
Para confirmar que esse ponto é mínimo, calculamos a segunda derivada:
Para
temos
, portanto
é convexa e o ponto crítico encontrado é realmente um mínimo.
Passo 7
Interpretação e dica prática para a prova.
Resultado: entre todos os retângulos com área fixa, aquele que tem menor perímetro é o quadrado. Isso pode ser mostrado também por desigualdade AM-GM, mas o cálculo via derivadas é direto e seguro: basta expressar uma variável em função da outra e minimizar a função do perímetro. Na prova, faça como fiz aqui: colocar
, obter
, derivar, resolver
e confirmar com
.