O tempo entre chegadas de automóveis num lava-jato é distribuído exponencialmente, com uma média de 12 minutos.
Qual é a probabilidade de que o tempo entre chegadas de veículos neste lavajato esteja entre 7 e 10 minutos?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo entre chegadas de carros num lava-jato segue uma distribuição exponencial com média de 12 minutos. Precisamos achar
P(7 < X < 10),
sendo X esse tempo entre chegadas. Vamos usar a definição da função de distribuição acumulada (FDA) da exponencial.

Passo 2

Para a exponencial, se a média é \mu=12, o parâmetro de taxa é
\lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{12}\\ (\text{min}^{-1}).

Passo 3

A FDA de X é
F(x) = 1 - e^{-\lambda x}.
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P(7 < X < 10) = F(10) - F(7) = \bigl(1 - e^{-\lambda\cdot10}\bigr) - \bigl(1 - e^{-\lambda\cdot7}\bigr) = e^{-\lambda\cdot7} - e^{-\lambda\cdot10}.

Passo 4

Substituindo \lambda = 1/12:
P(7 < X < 10) = e^{-\frac{7}{12}} - e^{-\frac{10}{12}}.

Passo 5

Calculando os valores numéricos:
e^{-\frac{7}{12}}\approx e^{-0{,}5833}\approx 0{,}5580, \quad e^{-\frac{10}{12}}\approx e^{-0{,}8333}\approx 0{,}4346,
portanto
P(7 < X < 10)\approx 0{,}5580 - 0{,}4346 = 0{,}1234.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0{,}1234 (ou 12{,}34\%).

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