Seja X uma variável aleatória contínua com densidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2 x, & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.á

Perguntas:

  • Verifique se f(x) é uma função densidade de probabilidade (fdp) válida.
  • Determine a função de distribuição acumulada (fda).
  • Calcule E(X).

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de uma variável aleatória contínua X:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2x, & 0 \le x \le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{array}\right.á
As perguntas que precisamos responder são:
  1. Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade (fdp) válida.
  2. Determinar a função de distribuição acumulada (fda) F(x)=P(X\le x).
  3. Calcular E(X).]

Passo 2

O primeiro requisito para uma fdp válida é que f(x) seja não-negativa para todo x. Vou checar isso claramente:
  • Para x<0 temos f(x)=0, que é não-negativo.
  • Para 0\le x\le 1 temos f(x)=2x. Como x\ge 0 nesse intervalo, 2x\ge 0.
  • Para x>1 temos f(x)=0, também não-negativo.
    Portanto f(x)\ge 0 para todo x.
Explicação rápida do porquê isso importa: a densidade não pode ser negativa porque probabilidades não são negativas; f(x) é uma “densidade” que, quando integrada sobre um intervalo, dá uma probabilidade desse intervalo.

Passo 3

O segundo requisito é que a integral de f em toda a reta real seja 1. Vou calcular:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} 2x\,dx,
porque fora de [0,1] a densidade é zero. Calculo a integral passo a passo:
\int 2x\,dx = x^{2} + C.
Avalio de 0 a 1:
\int_{0}^{1} 2x\,dx = \bigl[x^{2}\bigr]_{0}^{1} = 1^{2}-0^{2}=1.
Como a integral total é 1 e f\ge 0, concluímos que f é uma fdp válida.

Passo 4

Agora vou definir e calcular a função de distribuição acumulada (fda) F(x)=P(X\le x). Por definição, para variável contínua
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Temos três casos, dependendo de x:
Caso 1: x<0. Então a integral vai até um ponto antes de onde f é positiva, logo
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = 0.
Caso 2: 0\le x\le 1. A integral acumula probabilidades desde 0 até x:
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{0}^{x} 2t\,dt.
Calculo a integral:
\int_{0}^{x} 2t\,dt = \bigl[t^{2}\bigr]_{0}^{x} = x^{2}.
Portanto, para 0\le x\le 1 temos F(x)=x^{2}.
Caso 3: x>1. A integral até x inclui toda a massa de probabilidade (que está em [0,1]), então
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{0}^{1} 2t\,dt = 1.
Também é útil checar os pontos de transição: em x=0 o caso intermediário dá F(0)=0^{2}=0, compatível com o caso x<0; em x=1 F(1)=1^{2}=1, compatível com o caso x>1. A fda é contínua e está correta.

Passo 5

Agora calculamos a esperança E(X). Por definição, para variável contínua
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Como f é zero fora de [0,1], isso reduz para
E(X)=\int_{0}^{1} x\cdot 2x\,dx = \int_{0}^{1} 2x^{2}\,dx.
Calculo a integral passo a passo:
\int 2x^{2}\,dx = 2\cdot \frac{x^{3}}{3} + C = \frac{2}{3}x^{3} + C.
Avalio de 0 a 1:
E(X)=\bigl[\tfrac{2}{3}x^{3}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{2}{3}\cdot 1^{3} - 0 = \tfrac{2}{3}.
Intuição rápida: a média fica acima de 0,5 porque a densidade 2x puxa mais massa para valores maiores dentro de [0,1] (mais probabilidade perto de 1 do que perto de 0).

Resposta

Sim. [f(x)) é fdp válida, pois f(x)\ge 0 e \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.
F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] x^{2}, & 0\le x\le 1,\\[4pt] 1, & x>1. \end{cases}
(E(X)=\dfrac{2}{3}].]

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