Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade (fdp) válida.
Determinar a função de distribuição acumulada (fda) F(x)=P(X\le x).
Calcular E(X).]
Passo 2
O primeiro requisito para uma fdp válida é que f(x) seja não-negativa para todo x. Vou checar isso claramente:
Para x<0 temos f(x)=0, que é não-negativo.
Para 0\le x\le 1 temos f(x)=2x. Como x\ge 0 nesse intervalo, 2x\ge 0.
Para x>1 temos f(x)=0, também não-negativo.
Portanto f(x)\ge 0 para todo x.
Explicação rápida do porquê isso importa: a densidade não pode ser negativa porque probabilidades não são negativas; f(x) é uma “densidade” que, quando integrada sobre um intervalo, dá uma probabilidade desse intervalo.
Passo 3
O segundo requisito é que a integral de f em toda a reta real seja 1. Vou calcular:
Também é útil checar os pontos de transição: em x=0 o caso intermediário dá F(0)=0^{2}=0, compatível com o caso x<0; em x=1 dá F(1)=1^{2}=1, compatível com o caso x>1. A fda é contínua e está correta.
Passo 5
Agora calculamos a esperança E(X). Por definição, para variável contínua
Intuição rápida: a média fica acima de 0,5 porque a densidade 2x puxa mais massa para valores maiores dentro de [0,1] (mais probabilidade perto de 1 do que perto de 0).
Resposta
Sim. [f(x)) é fdp válida, pois f(x)\ge 0 e \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.