Para um tempo t=0, a função de onda para o átomo de Hidrogênio é:
\Psi(r, t=0)=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(2 \Psi_{100}+\Psi_{210}+\sqrt{2} \Psi_{211}+\sqrt{3} \Psi_{21,-1}\right)
onde os subíndices são os valores dos números quânticos n, l, m_{l}. (a) Explique o significado Físico da função de onda dada anteriormente (1.0 pto.) (b) Calcule o valor esperado para a energia do sistema ( 2.0 ptos.)

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda inicial
\Psi(r,0)=\frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(2\,\Psi_{100}+\Psi_{210}+\sqrt{2}\,\Psi_{211}+\sqrt{3}\,\Psi_{21,-1}\bigr)
Estamos trabalhando com o princípio da superposição em mecânica quântica e vamos calcular o valor esperado de energia num conjunto de autoestados de Hidrogênio.

Passo 2

Fisicamente, essa expressão diz que, ao medir a energia do átomo, ele colapsa em um dos autoestados \Psi_{n,l,m_l} com probabilidade igual ao módulo quadrado do coeficiente que multiplica esse autoestado na superposição.

Passo 3

Os coeficientes são
c_{100}=\frac{2}{\sqrt{10}},\quad c_{210}=\frac{1}{\sqrt{10}},\quad c_{211}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}},\quad c_{21,-1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}
e, portanto, as probabilidades de obter cada autoestado são
P_{100}=\frac{4}{10},\quad P_{210}=\frac{1}{10},\quad P_{211}=\frac{2}{10},\quad P_{21,-1}=\frac{3}{10}.

Passo 4

Cada autoestado de Hidrogênio tem energia
E_{n}=-\frac{13{,}6\text{ eV}}{n^{2}}.
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E_{100}=-13{,}6\text{ eV}, \quad E_{210}=E_{211}=E_{21,-1}=-\frac{13{,}6\text{ eV}}{2^{2}}=-3{,}4\text{ eV}.

Passo 5

O valor esperado da energia é
\langle E\rangle =\sum_i P_i\,E_i =\frac{4}{10}(-13{,}6)+\Bigl(\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+\frac{3}{10}\Bigr)(-3{,}4) =-5{,}44-2{,}04 =-7{,}48\text{ eV}.

Resposta

\langle E\rangle = -7{,}48\text{ eV}.

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