Um fio liso é preso em dois pontos, (0,0) e (1, h), e por ele desliza uma conta sob ação da gravidade. Suponha que a velocidade é dada por meio da energia potencial convertida em cinética e que o objetivo é minimizar o tempo de descida. Determine a equação para h.

Passo 1

O problema é determinar a forma do fio (isto é, a curva y(x)) que liga (0,0) a (1,h) de modo a minimizar o tempo de descida de uma conta deslizando sem atrito sob gravidade. Pelo princípio da conservação de energia, a velocidade vale v=\sqrt{2g\,y} (tomando y medido para baixo). Como o tempo é
T=\int \frac{ds}{v}\;,
vamos usar cálculo variacional para minimizar
T=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{y}}\;dx.

Passo 2

Como o integrando
L(y,y')=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{y}}
não depende explicitamente de x, vale a primeira integral de Beltrami:
L - y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}=C,
onde C é constante. Calculando
\frac{\partial L}{\partial y'}=\frac{y'}{\sqrt{y}\,\sqrt{1+y'^2}},
temos
\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{y}} -\frac{y'^2}{\sqrt{y}\,\sqrt{1+y'^2}} =\frac{1}{\sqrt{y}\,\sqrt{1+y'^2}} =C.
Logo
1+y'^2=\frac{1}{C^2\,y} \quad\Longrightarrow\quad y'^2=\frac{1}{C^2\,y}-1.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, introduzimos um parâmetro \theta de modo a reconhecer a forma de cicloide:
definimos
y(\theta)=a\bigl(1-\cos\theta\bigr),
onde escolhemos a=\tfrac1{2C^2}. Então, usando a relação diferencial que vem de y'^2, integra-se e obtém-se
x(\theta)=a\bigl(\theta-\sin\theta\bigr),
de modo que \theta=0 (x,y)=(0,0) e \theta=\theta_1 (x,y)=(1,h).

Passo 4

Impondo as condições de contorno em \theta_1, temos
1=x(\theta_1)=a\bigl(\theta_1-\sin\theta_1\bigr), \qquad h=y(\theta_1)=a\bigl(1-\cos\theta_1\bigr).
Eliminando a entre essas duas equações, obtemos a relação desejada:
a=\frac{1}{\theta_1-\sin\theta_1} \quad\Longrightarrow\quad h =\frac{1-\cos\theta_1}{\theta_1-\sin\theta_1}.

Resposta

h=\frac{1-\cos\theta_1}{\theta_1-\sin\theta_1}.

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