Um fio liso é preso em dois pontos,
e
, e por ele desliza uma conta sob ação da gravidade. Suponha que a velocidade é dada por meio da energia potencial convertida em cinética e que o objetivo é minimizar o tempo de descida. Determine a equação para h.
Passo 1
O problema é determinar a forma do fio (isto é, a curva
) que liga
a
de modo a minimizar o tempo de descida de uma conta deslizando sem atrito sob gravidade. Pelo princípio da conservação de energia, a velocidade vale
(tomando
medido para baixo). Como o tempo é
vamos usar cálculo variacional para minimizar
Passo 2
Como o integrando
não depende explicitamente de
, vale a primeira integral de Beltrami:
onde
é constante. Calculando
temos
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Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, introduzimos um parâmetro
de modo a reconhecer a forma de cicloide:
definimos
definimos
onde escolhemos
. Então, usando a relação diferencial que vem de
, integra-se e obtém-se
de modo que
dá
e
dá
.
Passo 4
Impondo as condições de contorno em
, temos
Eliminando
entre essas duas equações, obtemos a relação desejada: