(a) O quê é o Spin do átomo. Porquê o Spin não aparece na equação de Schrödinger. ( 0.5 ptos.)
(b) Escreva a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos [autofunção \psi_{a, b, c, d} ]. (0.5 ptos.)
(c) Escreva as 3 equações de autovalores que são deduzidas a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio [especifique de forma geral os números quânticos nessas equações]. (0.5 ptos.)
(d) Calcular o valor esperado do operador \hat{L}_{z} [use uma equação de autovalor para simplificar os cálculos]. (0.5 ptos.)
(e) Escreva as equações de autovalor considerando o Spin, as quais podem ser estendidas a partir das equações de autovalores escritas em (c). (0.5 ptos.)
(f) Desconsiderando o spin, monte a função de onda que descreve a transição entre n=1 e n=2, para o átomo de Hidrogênio. (1.0 pto.)

Passo 1

O enunciado pede seis itens sobre o átomo de Hidrogênio envolvendo: (i) definição de spin e ausência dele na equação de Schrödinger; (ii) função de onda do estado fundamental em notação de quatro números quânticos \psi_{a,b,c,d}; (iii) três equações de autovalor extraídas da equação de Schrödinger para Hidrogênio; (iv) cálculo do valor esperado de \hat L_z; (v) extensão das equações de autovalor incluindo spin; (vi) montagem da função de onda de transição entre n=1 e n=2 (sem spin). Vamos usar conceitos de mecânica quântica não-relativística, operadores angulares, princípio de superposição e autoestados de momento angular orbital e de spin.

Passo 2

(a) O spin é um momento angular intrínseco das partículas, caracterizado por um operador \hat{\mathbf S} com autovalores
\hat S^2\ket{s,m_s} = \hbar^2\,s(s+1)\ket{s,m_s}, \quad \hat S_z\ket{s,m_s} = \hbar\,m_s\ket{s,m_s},
onde, para o elétron, s=\tfrac12 e m_s=\pm\tfrac12.
O spin não aparece na equação de Schrödinger não-relativística porque essa equação trata apenas da energia cinética e potencial (movimento orbital). A interação de spin – por exemplo acoplamento spin-órbita – surge de correções relativísticas (equação de Dirac) e, no formalismo estrito de Schrödinger, não há termo de spin.

Passo 3

(b) No átomo de Hidrogênio a autofunção total pode ser rotulada por quatro números quânticos (n,l,m_l,m_s). No estado fundamental escolhemos n=1, l=0, m_l=0 e um valor de m_s. A parte espacial é
R_{10}(r)Y_{0}^{0}(\theta,\varphi) =\frac{1}{\sqrt{\pi\,a_0^3}}\,e^{-r/a_0},
onde a_0 é o raio de Bohr. Incluindo o spin, escrevemos
\psi_{1,0,0,m_s}(r,\theta,\varphi;\sigma) =\frac{1}{\sqrt{\pi\,a_0^3}}\,e^{-r/a_0}\;\chi_{m_s}(\sigma),
em que \chi_{m_s} é o spinor de spin 1/2 com autovalor m_s=\pm\tfrac12.

Passo 4

(c) As três equações de autovalor derivadas da equação de Schrödinger estacionária para o átomo de Hidrogênio são, de forma geral, para autofunções \psi_{n,l,m_l}:
\hat H\psi_{n,l,m_l} = E_n\,\psi_{n,l,m_l},
\hat L^2\psi_{n,l,m_l} = \hbar^2\,l(l+1)\,\psi_{n,l,m_l},
\hat L_z\psi_{n,l,m_l} = \hbar\,m_l\,\psi_{n,l,m_l},
onde n=1,2,\dots, l=0,1,\dots,n-1 e m_l=-l,\dots,+l.

Passo 5

(d) O valor esperado de \hat L_z num autofunção \psi_{n,l,m_l} é justamente o seu autovalor, ou seja
\big\langle \hat L_z\big\rangle =\bra{n,l,m_l}\hat L_z\ket{n,l,m_l} =\hbar\,m_l.

Passo 6

(e) Incluindo o spin, passamos a ter também as equações de autovalor para \hat S^2 e \hat S_z, além das anteriores. Para as autofunções rotuladas por (n,l,m_l,s,m_s):
\hat S^2\psi_{n,l,m_l,s,m_s} =\hbar^2\,s(s+1)\,\psi_{n,l,m_l,s,m_s},
\hat S_z\psi_{n,l,m_l,s,m_s} =\hbar\,m_s\,\psi_{n,l,m_l,s,m_s},
com s=\tfrac12 e m_s=\pm\tfrac12.

Passo 7

(f) Desprezando o spin, uma função de onda que descreve a transição (superposição) entre n=1 e n=2 é
\Psi(r,\theta,\varphi,t) =C_1\,\psi_{1,0,0}(r,\theta,\varphi)\,e^{-\,\tfrac{i}{\hbar}E_1t} \;+\; C_2\,\psi_{2,0,0}(r,\theta,\varphi)\,e^{-\,\tfrac{i}{\hbar}E_2t},
onde C_1 e C_2 são constantes de normalização e
E_n = -\frac{13{,}6\text{ eV}}{n^2}\,.

Resposta

(a) O spin é um momento angular intrínseco do elétron s=\tfrac12, m_s=\pm\tfrac12, ausente na equação de Schrödinger não-relativística porque essa equação não contém termos de spin (surgem apenas em correções relativísticas, ex. equação de Dirac).
(b)
\psi_{1,0,0,m_s}(r,\theta,\varphi;\sigma) =\frac{1}{\sqrt{\pi\,a_0^3}}\,e^{-r/a_0}\;\chi_{m_s}(\sigma).
(c)
\hat H\psi_{n,l,m_l}=E_n\psi_{n,l,m_l}, \quad \hat L^2\psi_{n,l,m_l}=\hbar^2l(l+1)\psi_{n,l,m_l}, \quad \hat L_z\psi_{n,l,m_l}=\hbar m_l\psi_{n,l,m_l}.
(d) \big\langle \hat L_z\big\rangle=\hbar\,m_l.
(e)
\hat S^2\psi_{n,l,m_l,s,m_s}=\hbar^2s(s+1)\psi_{n,l,m_l,s,m_s}, \quad \hat S_z\psi_{n,l,m_l,s,m_s}=\hbar m_s\psi_{n,l,m_l,s,m_s}.
(f)
\Psi(r,\theta,\varphi,t) =C_1\psi_{1,0,0}e^{-\,\tfrac{iE_1t}{\hbar}} +C_2\psi_{2,0,0}e^{-\,\tfrac{iE_2t}{\hbar}}.

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