(a) O quê é o Spin do átomo. Porquê o Spin não aparece na equação de Schrödinger. ( 0.5 ptos.)
(b) Escreva a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos [autofunção
]. (0.5 ptos.)
(c) Escreva as 3 equações de autovalores que são deduzidas a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio [especifique de forma geral os números quânticos nessas equações]. (0.5 ptos.)
(d) Calcular o valor esperado do operador
[use uma equação de autovalor para simplificar os cálculos]. (0.5 ptos.)
(e) Escreva as equações de autovalor considerando o Spin, as quais podem ser estendidas a partir das equações de autovalores escritas em (c). (0.5 ptos.)
(f) Desconsiderando o spin, monte a função de onda que descreve a transição entre
e
, para o átomo de Hidrogênio. (1.0 pto.)
(b) Escreva a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos [autofunção
(c) Escreva as 3 equações de autovalores que são deduzidas a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio [especifique de forma geral os números quânticos nessas equações]. (0.5 ptos.)
(d) Calcular o valor esperado do operador
(e) Escreva as equações de autovalor considerando o Spin, as quais podem ser estendidas a partir das equações de autovalores escritas em (c). (0.5 ptos.)
(f) Desconsiderando o spin, monte a função de onda que descreve a transição entre
Passo 1
O enunciado pede seis itens sobre o átomo de Hidrogênio envolvendo: (i) definição de spin e ausência dele na equação de Schrödinger; (ii) função de onda do estado fundamental em notação de quatro números quânticos
; (iii) três equações de autovalor extraídas da equação de Schrödinger para Hidrogênio; (iv) cálculo do valor esperado de
; (v) extensão das equações de autovalor incluindo spin; (vi) montagem da função de onda de transição entre
e
(sem spin). Vamos usar conceitos de mecânica quântica não-relativística, operadores angulares, princípio de superposição e autoestados de momento angular orbital e de spin.
Passo 2
(a) O spin é um momento angular intrínseco das partículas, caracterizado por um operador
com autovalores
onde, para o elétron,
e
.
O spin não aparece na equação de Schrödinger não-relativística porque essa equação trata apenas da energia cinética e potencial (movimento orbital). A interação de spin – por exemplo acoplamento spin-órbita – surge de correções relativísticas (equação de Dirac) e, no formalismo estrito de Schrödinger, não há termo de spin.
O spin não aparece na equação de Schrödinger não-relativística porque essa equação trata apenas da energia cinética e potencial (movimento orbital). A interação de spin – por exemplo acoplamento spin-órbita – surge de correções relativísticas (equação de Dirac) e, no formalismo estrito de Schrödinger, não há termo de spin.
Passo 3
(b) No átomo de Hidrogênio a autofunção total pode ser rotulada por quatro números quânticos
. No estado fundamental escolhemos
,
,
e um valor de
. A parte espacial é
onde
é o raio de Bohr. Incluindo o spin, escrevemos
em que
é o spinor de spin
com autovalor
.
Passo 4
(c) As três equações de autovalor derivadas da equação de Schrödinger estacionária para o átomo de Hidrogênio são, de forma geral, para autofunções
:
onde
,
e
.
Passo 5
(d) O valor esperado de
num autofunção
é justamente o seu autovalor, ou seja
Passo 6
(e) Incluindo o spin, passamos a ter também as equações de autovalor para
e
, além das anteriores. Para as autofunções rotuladas por
:
com
e
.
Passo 7
(f) Desprezando o spin, uma função de onda que descreve a transição (superposição) entre
e
é
onde
e
são constantes de normalização e
Resposta
(a) O spin é um momento angular intrínseco do elétron
,
, ausente na equação de Schrödinger não-relativística porque essa equação não contém termos de spin (surgem apenas em correções relativísticas, ex. equação de Dirac).
(b)
(b)
(c)
(d)
(e)
(e)
(f)