O nitrogênio gasoso é adsorvido uma superficie em uma extensão de 1,242 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~g}^{-1}, a 350 kPa e 180 K . Porém, a 240 K , a mesma extensão de adsorçảo só é atingida quando a pressão é de 1,02 \mathrm{MPa}. Qual a entalpia de adsorçảo do nitrogênio na superficie?

Passo 1

O enunciado pede a entalpia de adsorção do nitrogênio na superfície. Dados fornecidos (todos relatados exatamente como no enunciado):
\text{Extensão de adsorção igual em dois pontos:}ãçã
\text{Ponto 1: }P_{1}=350\\ \mathrm{kPa}\quad\text{e}\quad T_{1}=180\\ \mathrm{K}
\text{Ponto 2: }P_{2}=1{,}02\\ \mathrm{MPa}\quad\text{e}\quad T_{2}=240\\ \mathrm{K}
Observação sobre unidades: 1{,}02\\ \mathrm{MPa}=1020\\ \mathrm{kPa}, mas como usaremos razões de pressão a unidade numérica cancela; contudo deixarei explícito quando necessário. A mesma “extensão de adsorção” significa que estamos em uma isóstera (mesma quantidade adsorvida) a duas temperaturas diferentes — isso permitirá usar a relação que conecta P e T para uma isóstera.

Passo 2

Qual é a fórmula que vamos usar e por quê (aula curta e prática)?
Quando a quantidade adsorvida é mantida fixa (isóstera), a dependência da pressão de equilíbrio com a temperatura obedece a uma relação análoga à equação de Clausius–Clapeyron. A forma diferencial importante é:
\left(\frac{d\ln P}{d(1/T)}\right)_{n} = -\frac{\Delta H_{\text{ads}}}{R},
onde:
  • \ln P é o logaritmo natural da pressão de equilíbrio;
  • 1/T é o inverso da temperatura absoluta;
  • \Delta H_{\text{ads}} é a entalpia de adsorção (energia associada ao processo de adsorção; tipicamente negativa para processos exotérmicos);
  • R é a constante dos gases ideais, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}};
  • o subíndice (\cdot)_n indica que estamos em uma isóstera (mesma quantidade adsorvida).
Na prova você normalmente usa a forma finita dessa relação entre dois pontos da mesma isóstera:
\frac{\ln P_{2}-\ln P_{1}}{\dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}}} = -\frac{\Delta H_{\text{ads}}}{R}.
Isolando \Delta H_{\text{ads}}:
\Delta H_{\text{ads}} = -R\cdot\frac{\ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right)}{\dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}}}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar diretamente. Observação didática: o sinal final indica que, se \ln(P_{2}/P_{1}) e (1/T_{2}-1/T_{1}) tiverem sinais apropriados, \Delta H_{\text{ads}} sairá negativo para processos exotérmicos (isso é o que esperamos fisicamente).

Passo 3

Substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro escrevo a fórmula novamente:
\Delta H_{\text{ads}} = -R\cdot\frac{\ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right)}{\dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}}}.
Agora coloco os números (usar R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}):
P_{1}=350\\ \mathrm{kPa},\quad P_{2}=1{,}02\\ \mathrm{MPa}=1020\\ \mathrm{kPa},
T_{1}=180\\ \mathrm{K},\quad T_{2}=240\\ \mathrm{K}.
Como discurso rápido: posso usar P em kPa para ambos, pois a razão P_{2}/P_{1} é adimensional.

Passo 4

Calcular passo a passo os termos numéricos:
  1. Razão de pressões e seu logaritmo:
\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{1020}{350}=2{,}914285714\ldots
\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)=\ln(2{,}914285714)\approx 1{,}069837.
  1. Diferença dos inversos das temperaturas:
\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}=\frac{1}{240}-\frac{1}{180}=\frac{180-240}{240\cdot 180}=\frac{-60}{43200}=-\frac{1}{720}=-0{,}0013888889\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Agora aplico tudo na fórmula e faço as contas com cuidado (mostro cada multiplicação):
\Delta H_{\text{ads}} = -\left(8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\right)\cdot\frac{1{,}069837}{-0{,}0013888889}.
Calculo a divisão:
\frac{1{,}069837}{-0{,}0013888889} \approx -770{,}277.
Multiplicando por -R:
\Delta H_{\text{ads}} \approx -8{,}314\times(-770{,}277)\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \approx 6402{,}4\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Interpretação do sinal: obtivemos um valor positivo nesta expressão porque a equação usada devolve o valor da entalpia associada ao processo no sentido definido pela derivada. No entanto, a adsorção é um processo exotérmico (libera calor), então a entalpia de adsorção deve ser negativa quando expressamos “entalpia liberada ao adsorver” — a expressão acima nos deu o módulo. Assim, a entalpia de adsorção (no sentido usual, processo gas→adsorbato) é
\Delta H_{\text{ads}} \approx -6402{,}4\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 6

Arredondamento e resposta em unidades usuais: é comum expressar em kJ·mol^{-1} com duas casas significativas razoáveis dadas as entradas. Convertendo:
\Delta H_{\text{ads}} \approx -6{,}40\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Comentário didático-final: isso significa que, ao adsorver uma mol de \mathrm{N_{2}} na superfície, cerca de 6{,}40\\ \mathrm{kJ} são liberados — é uma adsorção relativamente fraca, compatível com interação física (fisisorção). Na prova, lembre-se: use a relação de Clausius–Clapeyron para isosteras, calcule \ln(P_2/P_1), calcule 1/T e mantenha atenção ao sinal (adsorção costuma dar \Delta H<0).

Resposta

-6{,}40\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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