Q1) O tempo médio de vida de múons estacionários é 2,2 \mu \mathrm{~s}. O tempo médio de vida dos múons de alta velocidade produzidos pelos raios cósmicos é 16 \mu \mathrm{~s} no referencial da Terra. a) Determine a velocidade em relação a Terra dos múons produzidos pelos raios cósmicos. b) Qual é a distância média que ele percorre antes de decair conforme medida por um observador em repouso na Terra?

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Tempo médio de vida dos múons em repouso (no referencial do múon): \tau_0 = 2,2\\ \mu\mathrm{s}.
    • Tempo médio de vida observado na Terra (referencial da Terra): \tau = 16\\ \mu\mathrm{s}.
    • A velocidade da luz: usaremos c = 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} quando for necessário converter para metros por segundo.
  • Perguntas:
    a) Determinar a velocidade dos múons em relação à Terra (ou seja, v).
    b) Determinar a distância média que o múon percorre antes de decair conforme medida por um observador em repouso na Terra.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar: dilatação do tempo (relatividade restrita). Explicando devagar e sem pressa: o tempo próprio \tau_0 é o tempo medido no referencial em que o objeto está em repouso (aqui, o múon). Observadores em outro referencial onde o múon está se movendo medem um tempo dilatado \tau. A relação é
\tau = \gamma\,\tau_0,
onde \gamma (fator de Lorentz) é dado por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Aqui \tau é o tempo medido na Terra, \tau_0 é o tempo no repouso do múon, v é a velocidade do múon relativa à Terra e c é a velocidade da luz. Nosso objetivo no item (a) é usar essa equação para achar v.

Passo 3

Primeiro calculemos o fator \gamma a partir dos tempos dados. Isolando \gamma em \tau = \gamma\,\tau_0 temos
\gamma = \frac{\tau}{\tau_0}.
Substituindo os valores (em unidades de \mu\mathrm{s}, que cancelam entre si):
\gamma = \frac{16}{2,2}\approx 7,2727\ldots
Vou manter algumas casas mas arredondarei quando preciso.

Passo 4

Agora usamos a definição de \gamma para obter v. Temos
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Invertendo e isolando v:
\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{1}{\gamma},
1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{\gamma^{2}},
\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{\gamma^{2}},
v=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}.
Agora substituímos o valor numérico de \gamma.

Passo 5

Cálculo numérico de v. Primeiro calculemos 1/\gamma^{2}:
\frac{1}{\gamma^{2}}=\frac{1}{(7,2727\ldots)^{2}}\approx 0,01889.
Então
1-\frac{1}{\gamma^{2}}\approx 1-0,01889=0,98111.
Tirando a raiz quadrada:
\sqrt{0,98111}\approx 0,99052.
Portanto
v\approx 0,99052\,c.
Convertendo para metros por segundo com c=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
v\approx 0,99052\times 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\approx 2,97\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora respondemos (b): distância média percorrida no referencial da Terra. A distância média d medida pela Terra é simplesmente a velocidade v multiplicada pelo tempo médio medido na Terra \tau:
d = v\,\tau.
Precisamos colocar \tau em segundos: \tau = 16\\ \mu\mathrm{s} = 16\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Usando v\approx 0,99052\,c e c=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
d \approx 0,99052\times 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\times 16\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Calcule passo a passo: 3,0\times10^{8}\times 16\times10^{-6}=3,0\times16\times10^{2}=48,0\times10^{2}=4,800\times10^{3}\\ \mathrm{m} (ou seja, 4800\\ \mathrm{m}). Multiplicando pelo fator 0,99052:
d\approx 0,99052\times 4800\\ \mathrm{m}\approx 4,75\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
Em quilômetros isso é aproximadamente 4,75\\ \mathrm{km}.

Passo 7

Checagem física rápida e intuição: se ignorássemos a relatividade (ou seja, usássemos \tau_0 em vez de \tau), a distância média seria v\,\tau_0\approx 0,9905\,c\times 2,2\\ \mu\mathrm{s}\approx 652\\ \mathrm{m}. Ou seja, sem dilatação o múon não chegaria muito longe. A dilatação do tempo aumenta o tempo de vida medido na Terra de 2,2\\ \mu\mathrm{s} para 16\\ \mu\mathrm{s}, permitindo que muitos múons percorram alguns quilômetros até decair — por isso detectamos múons do céu na superfície terrestre.

Resposta

a) v\approx 0,9905\,c\approx 2,97\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
b) d\approx 4,75\times10^{3}\\ \mathrm{m}\approx 4,75\\ \mathrm{km}

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