Q1) O tempo médio de vida de múons estacionários é
. O tempo médio de vida dos múons de alta velocidade produzidos pelos raios cósmicos é
no referencial da Terra. a) Determine a velocidade em relação a Terra dos múons produzidos pelos raios cósmicos. b) Qual é a distância média que ele percorre antes de decair conforme medida por um observador em repouso na Terra?
Passo 1
O enunciado fornece o seguinte e pede duas coisas:
-
Dados fornecidos:
- Tempo médio de vida dos múons em repouso (no referencial do múon):
. - Tempo médio de vida observado na Terra (referencial da Terra):
. - A velocidade da luz: usaremos
quando for necessário converter para metros por segundo.
- Tempo médio de vida dos múons em repouso (no referencial do múon):
-
Perguntas:
a) Determinar a velocidade dos múons em relação à Terra (ou seja,).
b) Determinar a distância média que o múon percorre antes de decair conforme medida por um observador em repouso na Terra.
Passo 2
Conceito físico que vamos usar: dilatação do tempo (relatividade restrita). Explicando devagar e sem pressa: o tempo próprio
é o tempo medido no referencial em que o objeto está em repouso (aqui, o múon). Observadores em outro referencial onde o múon está se movendo medem um tempo dilatado
. A relação é
onde
(fator de Lorentz) é dado por
Aqui
é o tempo medido na Terra,
é o tempo no repouso do múon,
é a velocidade do múon relativa à Terra e
é a velocidade da luz. Nosso objetivo no item (a) é usar essa equação para achar
.
Passo 3
Primeiro calculemos o fator
a partir dos tempos dados. Isolando
em
temos
Substituindo os valores (em unidades de
, que cancelam entre si):
Vou manter algumas casas mas arredondarei quando preciso.
Passo 4
Agora usamos a definição de
para obter
. Temos
Invertendo e isolando
:
Agora substituímos o valor numérico de
.
Passo 5
Cálculo numérico de
. Primeiro calculemos
:
Então
Tirando a raiz quadrada:
Portanto
Convertendo para metros por segundo com
:
Passo 6
Agora respondemos (b): distância média percorrida no referencial da Terra. A distância média
medida pela Terra é simplesmente a velocidade
multiplicada pelo tempo médio medido na Terra
:
Precisamos colocar
em segundos:
.
Usando
e
:
Calcule passo a passo:
(ou seja,
). Multiplicando pelo fator
:
Em quilômetros isso é aproximadamente
.
Passo 7
Checagem física rápida e intuição: se ignorássemos a relatividade (ou seja, usássemos
em vez de
), a distância média seria
. Ou seja, sem dilatação o múon não chegaria muito longe. A dilatação do tempo aumenta o tempo de vida medido na Terra de
para
, permitindo que muitos múons percorram alguns quilômetros até decair — por isso detectamos múons do céu na superfície terrestre.
Resposta
a)
b)