O tempo de montagem de conectores dura em média 4.2s. Está sendo analisada a possibilidade de utilização de um novo processo de montagem. Para esta análise foram observados 36 tempos do novo processo e obteve-se:
a) Encontre um intervalo de confiança
para o tempo médio.
b) Baseado no intervalo obtido em a) empresa deve mudar para o novo processo?
b) Baseado no intervalo obtido em a) empresa deve mudar para o novo processo?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar um intervalo de confiança de
para o tempo médio de montagem com o novo processo; (b) decidir, com base nesse intervalo, se a empresa deve trocar para o novo processo.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
onde
é a média amostral,
é a variância amostral e
é o tamanho da amostra. O tempo médio atual (do processo antigo) é
(informação do enunciado).
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática)?\n
- Como a variância populacional é desconhecida (temos apenas
), o procedimento padrão é usar o intervalo baseado na distribuição de Student para a média. Isso é o mais seguro quando não sabemos .\n - A distribuição
parece-se com a normal, mas tem “caudas mais pesadas”; o fator de correção depende dos graus de liberdade . Para amostras grandes o se aproxima do normal, mas aqui usamos por rigor.\n
Fórmula do intervalo de confiança para a média (quandoé desconhecida):
Explicando cada termo:
-
é a média amostral (a melhor estimativa pontual da média populacional). -
é o quantil superior da distribuição com graus de liberdade (para , e usamos ). -
é o desvio padrão amostral (raiz quadrada de ). -
é a raiz do tamanho da amostra; dividir por dá o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar).
Passo 3
Calcular o desvio padrão amostral
.\n
Explanação:
é a variância amostral; a raiz quadrada dá a unidade original (segundos), que usamos no erro padrão.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (standard error, SE).\n
Interpretação: em média, a média amostral oscila cerca de
ao redor da verdadeira média populacional.
Passo 5
Determinar o quantil
crítico para
.\n
Os graus de liberdade são . O quantil procurado é
. Consultando tabela
(ou calculadora), obtemos aproximadamente
Os graus de liberdade são
Observação didática: se não tiver tabela à mão, para amostras grandes pode-se lembrar que
fica próximo de
(valor z); aqui o
é um pouco maior porque
é finito.
Passo 6
Calcular a margem de erro (ME).\n
Cálculo mostrado:
, arredondando para
.
Passo 7
Construir o intervalo de confiança somando/subtraindo a margem de erro à média amostral.\n
Arredondando de forma prática (duas casas decimais) obtemos o intervalo
Passo 8
Interpretar o intervalo e responder (b) — devo trocar de processo?\n
- O intervalo de confiança de
para a média do novo processo é aproximadamente .\n - Comparando com o tempo médio atual
: o valor não pertence ao intervalo; além disso, todo o intervalo está abaixo de . Isso indica que, com de confiança, a verdadeira média do novo processo é menor que a média atual — ou seja, há evidência estatística de redução do tempo médio.\n - Conclusão prática: sim, do ponto de vista estatístico o novo processo produz uma média de tempo menor. Antes de decidir definitivamente, a empresa também deve considerar aspectos práticos (variabilidade operacional, custo de implementação, robustez do processo), mas apenas pela análise do tempo médio a evidência favorece a troca.
Resposta
a)
\n
b) Sim — o intervalo está totalmente abaixo de , indicando evidência a
de que o novo processo tem média menor; portanto, estatisticamente recomenda-se a troca.
b) Sim — o intervalo está totalmente abaixo de