O tempo de montagem de conectores dura em média 4.2s. Está sendo analisada a possibilidade de utilização de um novo processo de montagem. Para esta análise foram observados 36 tempos do novo processo e obteve-se:
\begin{aligned} & \bar{X}=3.6 \\\ & \mathrm{~S}^{2}=0.25 \end{aligned}
a) Encontre um intervalo de confiança 95 \% para o tempo médio.
b) Baseado no intervalo obtido em a) empresa deve mudar para o novo processo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar um intervalo de confiança de 95\% para o tempo médio de montagem com o novo processo; (b) decidir, com base nesse intervalo, se a empresa deve trocar para o novo processo.\n
Informações dadas:
\bar{X}=3,6,\qquad S^{2}=0,25,\qquad n=36,
onde \bar{X} é a média amostral, S^{2} é a variância amostral e n é o tamanho da amostra. O tempo médio atual (do processo antigo) é \,4,2\\ \text{s} (informação do enunciado).

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática)?\n
  • Como a variância populacional é desconhecida (temos apenas S^{2}), o procedimento padrão é usar o intervalo baseado na distribuição t de Student para a média. Isso é o mais seguro quando não sabemos \sigma.\n
  • A distribuição t parece-se com a normal, mas tem “caudas mais pesadas”; o fator de correção depende dos graus de liberdade \nu=n-1. Para amostras grandes o t se aproxima do z normal, mas aqui usamos t por rigor.\n
    Fórmula do intervalo de confiança para a média (quando \sigma é desconhecida):
\text{IC}_{1-\alpha}:\\ \bar{X}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}.
Explicando cada termo:
  • \bar{X} é a média amostral (a melhor estimativa pontual da média populacional).
  • t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil superior da distribuição t com n-1 graus de liberdade (para 95\%, \alpha=0,05 e usamos t_{0,975,\;n-1}).
  • S é o desvio padrão amostral (raiz quadrada de S^{2}).
  • \sqrt{n} é a raiz do tamanho da amostra; dividir S por \sqrt{n} dá o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar).

Passo 3

Calcular o desvio padrão amostral S.\n
S=\sqrt{S^{2}}=\sqrt{0,25}=0,5.
Explanação: S^{2} é a variância amostral; a raiz quadrada dá a unidade original (segundos), que usamos no erro padrão.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error, SE).\n
\text{SE}=\frac{S}{\sqrt{n}}=\frac{0,5}{\sqrt{36}}=\frac{0,5}{6}=0,083333\ldots
Interpretação: em média, a média amostral oscila cerca de 0,0833\\ \text{s} ao redor da verdadeira média populacional.

Passo 5

Determinar o quantil t crítico para 95\%.\n
Os graus de liberdade são \nu=n-1=35. O quantil procurado é t_{0,975,\;35}. Consultando tabela t (ou calculadora), obtemos aproximadamente
t_{0,975,\;35}\approx 2,030.
Observação didática: se não tiver tabela à mão, para amostras grandes pode-se lembrar que t fica próximo de 1,96 (valor z); aqui o t é um pouco maior porque \nu é finito.

Passo 6

Calcular a margem de erro (ME).\n
\text{ME}=t_{0,975,\;35}\cdot\text{SE}\approx 2,030\cdot 0,083333\ldots \approx 0,1692.
Cálculo mostrado: 2,030\times 0,083333\approx 0,169166\ldots, arredondando para 0,1692.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança somando/subtraindo a margem de erro à média amostral.\n
\text{Limite inferior}=\bar{X}-\text{ME}=3,6-0,1692=3,4308,
\text{Limite superior}=\bar{X}+\text{ME}=3,6+0,1692=3,7692.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais) obtemos o intervalo
\text{IC}_{95\%}=[3,43,\;3,77]\\ \text{s}.

Passo 8

Interpretar o intervalo e responder (b) — devo trocar de processo?\n
  • O intervalo de confiança de 95\% para a média do novo processo é aproximadamente [3,43,\;3,77]\\ \text{s}.\n
  • Comparando com o tempo médio atual \,4,2\\ \text{s}: o valor \,4,2\\ \text{s} não pertence ao intervalo; além disso, todo o intervalo está abaixo de \,4,2\\ \text{s}. Isso indica que, com 95\% de confiança, a verdadeira média do novo processo é menor que a média atual — ou seja, há evidência estatística de redução do tempo médio.\n
  • Conclusão prática: sim, do ponto de vista estatístico o novo processo produz uma média de tempo menor. Antes de decidir definitivamente, a empresa também deve considerar aspectos práticos (variabilidade operacional, custo de implementação, robustez do processo), mas apenas pela análise do tempo médio a evidência favorece a troca.

Resposta

a) \text{IC}_{95\%} = [3,43,\;3,77]\\ \text{s}\n
b) Sim — o intervalo está totalmente abaixo de \,4,2\\ \text{s}, indicando evidência a 95\% de que o novo processo tem média menor; portanto, estatisticamente recomenda-se a troca.

Exercícios relacionados