Qual o tempo necessário para que a pressão em uma linha de vácuo aumente 10 vezes, considerando que a pressão de trabalho da linha é de 10^-5 mmHg e que um orifício circular de 2 times 10^-2 mm de raio é o responsável pelo aumento da pressão? O volume total da linha é de 50 litros, a temperatura de trabalho é de 300 K e a pressão externa é de 1 atmãé. A massa molar média do ar é de 28,9 g cdot mol^-1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o tempo que uma linha de vácuo (volume total de 50 L a 300 K) leva pra ter a pressão interna aumentada em 10×, saindo de 10⁻⁵ mmHg até 10⁻⁴ mmHg, devido a um furo circular de raio 2×10⁻² mm. O conteúdo que vamos usar:
  1. Regime molecular de fluxo através de orifício,
  2. Lei dos gases ideais,
  3. Fórmula de fluxo em regime molecular:
    ,
    onde é o fluxo (Pa·m³/s), a área do furo, a velocidade média das moléculas e a diferença de pressão.

Passo 2

Primeiro, como a pressão interna Q ;=;14,A,vrm m,Prm ext é muito menor que a externa V,dPrm intdt ;=; Q Longrightarrow dPrm intdt =Prm ext,A,vrm m4,V atm, podemos aproximar .
O fluxo volumétrico de gás que entra na câmara vale
E pela conservação de massa (ou melhor, conservação de quantidade de gás) temos

Passo 3

Integramos em Prm int(t)-Pi =Prm ext,A,vrm m4,V;t , sabendo que 10,Pi - Pi ;=; 9,Pi ;=;Prm ext,A,vrm m4,V;t Longrightarrow t=9,Pi,4,VPrm ext,A,vrm m mmHg e queremos :
Como ,

Passo 4

Agora calculamos os parâmetros:
  1. Converter unidades:
    • vrm m =raiz8,R,Tpi,M =raiz8cdot8,314cdot300picdot0,0289 approx4,69times10^2 m/s mmHg = t=9,(1,33times10^-3),4,(0,05)% (1,013times10^5),(1,26times10^-9),(4,69times10^2), ,Pa = tapprox4,0times10^-2 s ,Pa
    • atm = ,Pa
    • L = ,m³
    • mm = ,m
    • ,m²
  2. Velocidade média molecular:
  1. Substituindo em
fazendo as contas dá

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente segundos.

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