O tempo T em minutos necessário para um operário para processar certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribui’cão de probabilidade:
T 2 3 4 5 6 7
p(t) 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1
Qual a probabilidade de que o operário precise de mais de 3 minutos para processar uma peça?

Passo 1

O enunciado fornece a variável aleatória discreta T (tempo em minutos) com a seguinte distribuição de probabilidade:
  • T pode assumir os valores 2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7.
  • As probabilidades conhecidas são:
    • p(2)=0,1
    • p(3)=0,1
    • p(4)= (não informada)
    • p(5)=0,2
    • p(6)=0,2
    • p(7)=0,1
A pergunta é: qual a probabilidade de que o operário precise de mais de 3 minutos para processar uma peça? Ou seja, calcular P(T>3).

Passo 2

Conceito importante e regra básica: numa distribuição de probabilidade discreta todos os valores de probabilidade devem ser não negativos e a soma de todas as probabilidades tem de ser 1. Vou usar isso para encontrar a probabilidade que falta, p(4).
Escrevendo a soma das probabilidades:
p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)=1.
Substituindo os valores conhecidos:
0,1+0,1+p(4)+0,2+0,2+0,1=1.
Agora somamos os termos conhecidos:
0,1+0,1+0,2+0,2+0,1 = 0,7.
Logo:
0,7 + p(4) = 1 \quad\Rightarrow\quad p(4)=1-0,7 = 0,3.
Portanto a distribuição completa é:
  • p(2)=0,1, p(3)=0,1, p(4)=0,3, p(5)=0,2, p(6)=0,2, p(7)=0,1.

Passo 3

Agora calculamos P(T>3). Para uma variável discreta, P(T>3) é a soma das probabilidades dos valores maiores que 3, isto é T=4,5,6,7. Então:
P(T>3)=p(4)+p(5)+p(6)+p(7).
Substituindo os valores:
P(T>3)=0,3+0,2+0,2+0,1.
Somando em etapas para ficar claro:
0,3+0,2=0,5,
0,5+0,2=0,7,
0,7+0,1=0,8.

Passo 4

Verificação alternativa (dica útil para prova): também dá para usar o complemento,
P(T>3)=1-P(T\le 3)=1-[p(2)+p(3)],
e como p(2)+p(3)=0,1+0,1=0,2 vem P(T>3)=1-0,2=0,8, confirma o resultado.
Um conselho prático: quando faltar uma probabilidade em tabela, quase sempre usa-se a soma igual a 1 para encontrá-la — isso aparece muito em provas.

Resposta

0,8

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