O tempo T em minutos necessário para um operário para processar certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribui’cão de probabilidade:
T 2 3 4 5 6 7
p(t) 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1
Calcule a probabilidade do operário precisar entre 3 a 6 minutos para processar uma peça.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a probabilidade do operário precisar entre 3 a 6 minutos para processar uma peça.
Informações fornecidas (peguei estes valores diretamente da tabela do enunciado):
  • A variável aleatória é T (tempo em minutos) e assume os valores 2,3,4,5,6,7.
  • As probabilidades dadas na tabela são:
    • p(2)=0,1
    • p(3)=0,1
    • p(4)= (não informado na tabela)
    • p(5)=0,2
    • p(6)=0,2
    • p(7)=0,1
O que é pedido explicitamente: calcular \mathbb{P}(3\le T\le 6).

Passo 2

Conceito importante que vou usar (explicado devagar): T é uma variável aleatória discreta com função massa de probabilidade (pmf) p(t)=\mathbb{P}(T=t). Uma propriedade básica de toda pmf é que a soma das probabilidades de todos os valores possíveis é 1:
\sum_{t} p(t) = 1.
Aqui os valores possíveis são 2,3,4,5,6,7. Essa fórmula significa: se eu somar p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7) o resultado deve ser 1. Vou usar isso para encontrar a probabilidade que está faltando, p(4).

Passo 3

Calcular p(4) pela soma total igual a 1.
Escrevo a soma:
p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)=1.
Substituo os valores conhecidos (peguei os números da tabela):
0,1 + 0,1 + p(4) + 0,2 + 0,2 + 0,1 = 1.
Agrupo as parcelas numéricas:
(0,1+0,1+0,2+0,2+0,1) + p(4) = 1.
Calculo a soma dentro do parêntese passo a passo:
0,1+0,1 = 0,2,
0,2+0,2 = 0,4,
0,4+0,1 = 0,5,
0,2 (inicial) + 0,5 = 0,7.
Portanto:
0,7 + p(4) = 1 \quad\Rightarrow\quad p(4) = 1 - 0,7 = 0,3.

Passo 4

Agora interpreto o evento pedido: “entre 3 a 6 minutos” normalmente significa inclusive, isto é o evento \{3,4,5,6\}. Como os resultados T=t são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer dois valores ao mesmo tempo), a probabilidade da união é a soma das probabilidades:
\mathbb{P}(3\le T\le 6)=\mathbb{P}(T=3)+\mathbb{P}(T=4)+\mathbb{P}(T=5)+\mathbb{P}(T=6).

Passo 5

Faço a soma com os números (peguei p(4)=0,3 do Passo 3 e os demais da tabela):
\mathbb{P}(3\le T\le 6)=0,1 + 0,3 + 0,2 + 0,2.
Somando em etapas:
0,1 + 0,3 = 0,4,
0,4 + 0,2 = 0,6,
0,6 + 0,2 = 0,8.
Logo a probabilidade pedida é 0,8.

Resposta

0,8

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