Suponha que uma variável aletória discreta X tenha a seguinte distribuição de probabilidade:
P(X=x)=c x, \text { para } x=0,1,2, \ldots, N .
a) Determine o valor da constante c quando N=4.
b) Calcule P(X=2) e P(X>1).

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação (vou listar exatamente o que foi passado):
  • A função massa de probabilidade é P(X=x)=c\,x para x=0,1,2,\ldots,N.
  • No item (a) pede-se determinar a constante c quando N=4.
  • No item (b) pede-se calcular P(X=2) e P(X>1).
Esses são os dados e as perguntas. Agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Entendimento básico necessário (por que começamos por aqui).
  • Para qualquer variável aleatória discreta, as probabilidades de todos os valores possíveis devem somar 1.
  • Isso significa a condição de normalização:
\sum_{x=0}^{N} P(X=x)=1.
  • No nosso caso P(X=x)=c\,x, então essa soma fica
\sum_{x=0}^{N} c\,x = 1.
Aqui c é a constante desconhecida que garante que a soma das probabilidades seja 1.

Passo 3

Simplificando a soma (passo a passo de cálculo).
  • Observe que o termo correspondente a x=0 é c\cdot 0=0. Logo a soma efetiva é de x=1 a x=N:
\sum_{x=0}^{N} c\,x = c\sum_{x=1}^{N} x = 1.
  • Precisamos da soma dos primeiros N inteiros:
\sum_{x=1}^{N} x = 1+2+\cdots+N.
Uma forma simples de obter essa soma é usar o truque da soma reversa: chame a soma de S. Então
S = 1+2+\cdots+N
e escrevendo ao contrário
S = N+(N-1)+\cdots+1.
Somando termo a termo as duas igualdades temos 2S = (N+1)+(N+1)+\cdots+(N+1) com N termos, logo
2S = N(N+1) \quad\Rightarrow\quad S=\frac{N(N+1)}{2}.

Passo 4

Achar c em função de N e depois com N=4.
  • Substituindo a fórmula da soma na condição de normalização:
c\cdot \frac{N(N+1)}{2} = 1.
  • Isolando c:
c = \frac{2}{N(N+1)}.
  • Agora aplicando N=4:
c = \frac{2}{4\cdot 5} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1.

Passo 5

Calcular P(X=2).
  • A definição dá P(X=2)=c\cdot 2.
  • Substituindo c=\dfrac{1}{10}:
P(X=2)=\frac{1}{10}\cdot 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2.

Passo 6

Calcular P(X>1) (ou seja P(X\ge 2), já que X é inteiro).
Método direto somando os termos:
P(X>1)=\sum_{x=2}^{4} P(X=x)=\sum_{x=2}^{4} c\,x = c(2+3+4).
  • Calcule a soma 2+3+4=9.
  • Substituindo c=\dfrac{1}{10}:
P(X>1)=\frac{1}{10}\cdot 9 = \frac{9}{10} = 0,9.
Verificação alternativa rápida (checar se faz sentido): P(X>1)=1-P(X\le 1)=1-[P(0)+P(1)]=1-[0+c\cdot1]=1-c=1-\tfrac{1}{10}=\tfrac{9}{10}. Dá o mesmo resultado, portanto consistente.

Resposta

c=\dfrac{1}{10}
P(X=2)=\dfrac{1}{5}
P(X>1)=\dfrac{9}{10}

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