Suponha que uma variável aletória discreta
tenha a seguinte distribuição de probabilidade:
a) Determine o valor da constante
quando
.
b) Calcule
e
.
b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação (vou listar exatamente o que foi passado):
- A função massa de probabilidade é
para . - No item (a) pede-se determinar a constante
quando . - No item (b) pede-se calcular
e .
Esses são os dados e as perguntas. Agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Entendimento básico necessário (por que começamos por aqui).
- Para qualquer variável aleatória discreta, as probabilidades de todos os valores possíveis devem somar
. - Isso significa a condição de normalização:
- No nosso caso
, então essa soma fica
Aqui
é a constante desconhecida que garante que a soma das probabilidades seja
.
Passo 3
Simplificando a soma (passo a passo de cálculo).
- Observe que o termo correspondente a
é . Logo a soma efetiva é de a :
- Precisamos da soma dos primeiros
inteiros:
Uma forma simples de obter essa soma é usar o truque da soma reversa: chame a soma de
. Então
e escrevendo ao contrário
Somando termo a termo as duas igualdades temos
com
termos, logo
Passo 4
Achar
em função de
e depois com
.
- Substituindo a fórmula da soma na condição de normalização:
- Isolando
:
- Agora aplicando
:
Passo 5
Calcular
.
- A definição dá
. - Substituindo
:
Passo 6
Calcular
(ou seja
, já que
é inteiro).
Método direto somando os termos:
Método direto somando os termos:
- Calcule a soma
. - Substituindo
:
Verificação alternativa rápida (checar se faz sentido):
. Dá o mesmo resultado, portanto consistente.