O tempo de vida de um elétron, no hidrogênio no estado n=2, é cerca de 10 ns . Qual a incerteza na energia para o estado n=2 ? Compare esta incerteza com a energia do estado.

Passo 1

O enunciado dá o tempo de vida (tempo médio antes de decair) do elétron no estado \,n=2\, como \,\tau \approx 10\\ \mathrm{ns}\, e pede duas coisas: (1) calcular a incerteza na energia para o estado \,n=2\, e (2) comparar essa incerteza com a energia do próprio estado \,n=2\,. Informação relevante listada: \,\tau = 10\\ \mathrm{ns} = 10\times 10^{-9}\\ \mathrm{s}\,.

Passo 2

Qual relação usar? Para estimar a incerteza em energia a partir do tempo de vida usa-se o princípio da incerteza energia-tempo. A forma habitual é
\Delta E\,\Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2},
onde \,\Delta E\, é a incerteza de energia, \,\Delta t\, é a incerteza temporal (aqui usamos o tempo de vida \tau como \Delta t) e \,\hbar\, é a constante de Planck reduzida. Vou usar a estimativa mínima
\Delta E \approx \frac{\hbar}{2\,\Delta t},
porque isso dá uma boa ordem de grandeza física e é a forma comum para uma estimativa. Observação: alguns autores usam \Delta E\approx \hbar/\Delta t (diferença de um fator 2), mas a ordem de grandeza não muda muito.

Passo 3

Valores numéricos das constantes e conversões que vamos precisar:
\hbar = 1{,}054571817\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Convertemos o tempo de vida para segundos:
\Delta t = \tau = 10\\ \mathrm{ns} = 10\times 10^{-9}\\ \mathrm{s} = 1\times 10^{-8}\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular \Delta E em joules usando \Delta E \approx \dfrac{\hbar}{2\Delta t}:
\Delta E \approx \frac{1{,}054571817\times 10^{-34}}{2\times 1\times 10^{-8}}\\ \mathrm{J} = \frac{1{,}054571817\times 10^{-34}}{2\times 10^{-8}}\\ \mathrm{J}.
Fazendo a divisão:
\Delta E \approx 5{,}272859085\times 10^{-27}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\Delta E \approx 5{,}27\times 10^{-27}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Converter \Delta E para \mathrm{eV}. Usamos 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}:
\Delta E \;(\mathrm{eV}) = \frac{5{,}272859085\times 10^{-27}}{1{,}602176634\times 10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 3{,}29\times 10^{-8}\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Agora a energia do estado \,n=2\, no átomo de hidrogênio (modelo de Bohr / níveis de energia) é
E_n = -\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}.
Para \,n=2\,:
E_{2} = -\frac{13{,}6}{2^{2}}\\ \mathrm{eV} = -3{,}4\\ \mathrm{eV}.
Em joules isso vale
E_{2} = -3{,}4\times 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx -5{,}4474\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Comparação (razão entre incerteza e energia do estado): usamos valores em \mathrm{eV} para ficar direto:
\frac{\Delta E}{|E_{2}|} = \frac{3{,}29\times 10^{-8}\\ \mathrm{eV}}{3{,}4\\ \mathrm{eV}} \approx 9{,}68\times 10^{-9}.
Interpretação: a incerteza na energia é cerca de 10^{-8} vezes a energia do estado — ou seja, extremamente pequena. (Se alguém usar a estimativa \Delta E\approx \hbar/\Delta t em vez de \hbar/(2\Delta t), o resultado seria apenas um fator 2 maior, ainda muito pequeno.)

Passo 8

Resumo físico e incentivo: a incerteza de energia é minúscula comparada com a energia do nível n=2, o que explica por que os níveis do hidrogênio são muito bem definidos. Você está indo bem — essa é uma pergunta clássica que junta princípio da incerteza e níveis atômicos; entendeu certinho!

Resposta

\Delta E \approx 5{,}27\times 10^{-27}\\ \mathrm{J} \approx 3{,}29\times 10^{-8}\\ \mathrm{eV}.
A incerteza é \displaystyle \frac{\Delta E}{|E_{2}|}\approx 9{,}68\times 10^{-9} (sendo E_{2}=-3{,}4\\ \mathrm{eV}).

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