O tempo de vida de um equipamento segue distribuição exponencial com média de 5 horas. Calcule:
P(X<2)
P(X<2)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O tempo de vida do equipamento é uma variável aleatória
que segue distribuição exponencial. - A média de
é horas (peguei esse dado do enunciado).
O que foi pedido: - Calcular
.
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar por que ela vale.
Para uma variável aleatória
com distribuição exponencial de parâmetro
(também chamado taxa), a função densidade de probabilidade é
Aqui:
-
é o parâmetro da distribuição (taxa de ocorrência por unidade de tempo); -
é o tempo de vida (em horas, neste problema).
A função de distribuição acumulada (CDF), que dá
, obtém-se integrando a densidade de
até
:
Fazendo a integral,
Portanto, para
,
Obs.: a média (valor esperado) da exponencial é
. Isso vem do cálculo
.
Passo 3
Usar a informação da média para encontrar
.
O enunciado diz que a média é
horas, isto é,
Logo
Passo 4
Calcular
substituindo
na fórmula da CDF.
Usando
,
Agora avaliar numericamente
. Um valor aproximado conhecido é
. Portanto
Arredondando para quatro casas decimais,