O tempo de vida de um equipamento segue distribuição exponencial com média de 5 horas. Calcule:
P(X<2)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O tempo de vida do equipamento é uma variável aleatória X que segue distribuição exponencial.
  • A média de X é 5 horas (peguei esse dado do enunciado).
    O que foi pedido:
  • Calcular P(X<2).

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar por que ela vale.
Para uma variável aleatória X com distribuição exponencial de parâmetro \lambda>0 (também chamado taxa), a função densidade de probabilidade é
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.
Aqui:
  • \lambda é o parâmetro da distribuição (taxa de ocorrência por unidade de tempo);
  • x é o tempo de vida (em horas, neste problema).
A função de distribuição acumulada (CDF), que dá P(X\le x), obtém-se integrando a densidade de 0 até x:
F_X(x)=\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Fazendo a integral,
F_X(x)=\Big[-e^{-\lambda t}\Big]_{t=0}^{t=x}=1-e^{-\lambda x}.
Portanto, para x\ge0,
P(X<x)=F_X(x)=1-e^{-\lambda x}.
Obs.: a média (valor esperado) da exponencial é \mathbb{E}[X]=1/\lambda. Isso vem do cálculo \mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx=1/\lambda.

Passo 3

Usar a informação da média para encontrar \lambda.
O enunciado diz que a média é 5 horas, isto é,
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}=5.
Logo
\lambda=\frac{1}{5}=0,2.

Passo 4

Calcular P(X<2) substituindo \lambda na fórmula da CDF.
Usando F_X(x)=1-e^{-\lambda x},
P(X<2)=1-e^{-\lambda\cdot 2}=1-e^{-0,2\cdot 2}=1-e^{-0,4}.
Agora avaliar numericamente e^{-0,4}. Um valor aproximado conhecido é e^{-0,4}\approx 0,670320046. Portanto
P(X<2)=1-0,670320046\approx 0,329679954.
Arredondando para quatro casas decimais,
P(X<2)\approx 0,3297.

Resposta

P(X<2)=1-e^{-0,4}\approx 0,3297

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