O tempo de vida de um equipamento segue distribuição exponencial com média de 5 horas. Calcule:
\mathrm{P}(\mathrm{X}>3)

Passo 1

O enunciado nos dá que o tempo de vida X de um equipamento segue uma distribuição exponencial com média 5 horas. A pergunta é calcular \mathrm{P}(X>3), ou seja, a probabilidade do equipamento durar mais de 3 horas.

Passo 2

Vamos lembrar a definição e as relações básicas da distribuição exponencial.
  • A função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial é
f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0,
onde \lambda>0 é a taxa (parâmetro) da distribuição. Aqui, \lambda tem unidade de “por hora”.
  • A esperança (média) de X é
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Explicando: integrar x f(x) 1/\lambda. Na prática, isso significa que se a média é conhecida, podemos achar \lambda invertendo essa relação.
Do enunciado temos \mathbb{E}[X]=5. Portanto
\frac{1}{\lambda}=5 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{5}.

Passo 3

A probabilidade pedida \mathrm{P}(X>3) é chamada de função de sobrevivência. Podemos calculá-la integrando a pdf de 3 até infinito:
\mathrm{P}(X>3)=\int_{3}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Vamos calcular essa integral passo a passo. Uma primitiva de \lambda e^{-\lambda x} é -e^{-\lambda x}, pois derivando -e^{-\lambda x} obtemos \lambda e^{-\lambda x}. Assim
\int_{3}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left[-e^{-\lambda x}\right]_{x=3}^{x=\infty}.
Ao avaliar nos limites:
\lim_{x\to\infty}(-e^{-\lambda x}) = 0,
pois e^{-\lambda x} tende a 0 quando x\to\infty. Então
\mathrm{P}(X>3)=0 - \big(-e^{-\lambda\cdot 3}\big)=e^{-\lambda\cdot 3}.
Em outras palavras, para a exponencial vale a fórmula simples
\mathrm{P}(X>t)=e^{-\lambda t}.

Passo 4

Agora substituímos \lambda=\dfrac{1}{5} e t=3:
\mathrm{P}(X>3)=e^{-(1/5)\cdot 3}=e^{-3/5}.
Calculando numericamente: -3/5=-0,6 e
e^{-3/5}\approx 0,5488116361\ldots
Arredondando, fica aproximadamente 0,5488.

Passo 5

Interpretação rápida e ânimo: isso significa que, com média de 5 horas, a chance do equipamento sobreviver além de 3 horas é cerca de 54{,}9\%. A distribuição exponencial é “memoryless” (sem memória), mas aqui não precisamos usar isso — apenas a fórmula da sobrevivência foi suficiente. Vai sair bonito na prova!

Resposta

\mathrm{P}(X>3)=e^{-3/5}\approx0,5488

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