O tempo de vida de um equipamento segue distribuição exponencial com média de 5 horas. Calcule:
Passo 1
O enunciado nos dá que o tempo de vida
de um equipamento segue uma distribuição exponencial com média
horas. A pergunta é calcular
, ou seja, a probabilidade do equipamento durar mais de
horas.
Passo 2
Vamos lembrar a definição e as relações básicas da distribuição exponencial.
- A função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial é
onde
é a taxa (parâmetro) da distribuição. Aqui,
tem unidade de “por hora”.
- A esperança (média) de
é
Explicando: integrar
dá
. Na prática, isso significa que se a média é conhecida, podemos achar
invertendo essa relação.
Do enunciado temos
. Portanto
Passo 3
A probabilidade pedida
é chamada de função de sobrevivência. Podemos calculá-la integrando a pdf de
até infinito:
Vamos calcular essa integral passo a passo. Uma primitiva de
é
, pois derivando
obtemos
. Assim
Ao avaliar nos limites:
pois
tende a
quando
. Então
Em outras palavras, para a exponencial vale a fórmula simples
Passo 4
Agora substituímos
e
:
Calculando numericamente:
e
Arredondando, fica aproximadamente
.
Passo 5
Interpretação rápida e ânimo: isso significa que, com média de
horas, a chance do equipamento sobreviver além de
horas é cerca de
. A distribuição exponencial é “memoryless” (sem memória), mas aqui não precisamos usar isso — apenas a fórmula da sobrevivência foi suficiente. Vai sair bonito na prova!