As notas de uma prova seguem distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10 . Qual a probabilidade de um aluno tirar:
entre 60 e 80

Passo 1

O enunciado nos dá que as notas seguem distribuição normal com média \mu=70 e desvio padrão \sigma=10. A pergunta é: qual a probabilidade de um aluno tirar entre 60 e 80? Em símbolos, pede-se calcular
P(60 \le X \le 80),
onde X é a nota do aluno.

Passo 2

Vamos padronizar a variável para usar a tabela da normal padrão. A padronização transforma X em Z pela fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a nota (variável aleatória com distribuição normal),
  • \mu é a média ( \mu=70),
  • \sigma é o desvio padrão ( \sigma=10),
  • Z tem distribuição normal padrão, isto é Z\sim N(0,1) (média 0 e desvio padrão 1).
A ideia é: calcular a probabilidade em X é equivalente a calcular uma probabilidade em Z, que consultamos com tabelas ou valores conhecidos.

Passo 3

Calcule os valores de Z correspondentes a X=60 e X=80:
z_1=\frac{60-70}{10}=\frac{-10}{10}=-1, \qquad z_2=\frac{80-70}{10}=\frac{10}{10}=1.
Portanto
P(60\le X\le80)=P\big(-1\le Z\le1\big).

Passo 4

Usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por \Phi(z)=P(Z\le z). Então
P(-1\le Z\le1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Pela simetria da normal padrão vale \Phi(-1)=1-\Phi(1). Substituindo:
P(-1\le Z\le1)=\Phi(1)-\big(1-\Phi(1)\big)=2\Phi(1)-1.

Passo 5

Agora precisamos do valor numérico de \Phi(1). Pela tabela da normal padrão ou por valores conhecidos,
\Phi(1)\approx0,84134.
Logo
P(60\le X\le80)=2\cdot0,84134-1=0,68268\ldots
Arredondando, obtemos aproximadamente 0,6827, que em porcentagem é cerca de 68,27\%. Isso bate com a regra empírica que diz que cerca de 68{,}3\% dos dados de uma normal estão dentro de \pm1 desvio padrão da média.

Passo 6

Resumo prático para a prova: transforme os limites em z-scores com \dfrac{X-\mu}{\sigma}, use a tabela da normal padrão (ou valor conhecido \Phi(1)\approx0,8413), e aplique a simetria para intervalos centrados na média. Dá para decorar: dentro de \pm1\sigma fica cerca de 68{,}3\%, \pm2\sigma cerca de 95\%, \pm3\sigma cerca de 99{,}7\%. Força aí — você vai conseguir!

Resposta

P(60\le X\le80)\approx0,6827 \big(68,27\%\big)

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