O tempo de vida, em horas, de uma lâmpada de 75 W está sendo estudado. Uma amostra aleatória de 20 lâmpadas apresentou uma vida média de 1.014 horas e um desvio padrão de 25 horas.
a) Construa um intervalo de confiança de 95,0 \% para a vida média da lâmpada e interprete;
b) Construa um intervalo de confiança de 95,0 \% para a variância e para o desvio padrão populacional. Interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, e os dados fornecidos são estes:
  • Perguntas:
    a) Construir um intervalo de confiança de 95,0\% para a vida média da lâmpada e interpretar.
    b) Construir um intervalo de confiança de 95,0\% para a variância populacional e para o desvio padrão populacional e interpretar.
  • Dados da amostra (retirados do enunciado):
    n=20,\qquad \bar{x}=1\,014\\ \text{horas},\qquad s=25\\ \text{horas},\qquad \text{nível de confiança }95,0\%.íç
Vou resolver a) e b) passo a passo, mostrando as fórmulas, o significado de cada símbolo e todos os cálculos.

Passo 2

Construção do intervalo de confiança para a média (item a).
  • Por que usar esta fórmula: quando queremos estimar a média populacional \mu e a variância populacional é desconhecida (isto é, não sabemos \sigma), usamos a distribuição t de Student. Como a amostra é relativamente pequena ( n=20), a aproximação normal não é adequada sem conhecer \sigma. A estatística
    T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}
    segue uma distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • Fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu:
    \left(\bar{x}-t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},\\ \bar{x}+t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\right),
    onde:
    • \bar{x} é a média amostral,
    • s é o desvio padrão amostral,
    • n é o tamanho da amostra,
    • t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t de Student (valor tal que a área à direita é \alpha/2).
  • Para 95,0\% temos \alpha=0,05 e 1-\alpha/2=0,975. Com n-1=19 graus de liberdade, o valor crítico (tabela) é aproximadamente
    t_{0,975,\;19}=2,093.
  • Cálculo passo a passo:
    \sqrt{n}=\sqrt{20}=4,4721\dots
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{25}{4,4721\dots}=5,5902\dots
\text{margem}=t_{0,975,19}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=2,093\cdot5,5902\dots=11,702\dots
Logo o intervalo é
\left(1\,014-11,702,\\\ 1\,014+11,702\right)=\left(1\,002,298,\\\ 1\,025,702\right).
  • Arredondando de forma prática (duas casas decimais em horas):
    (1\,002,30\\ \text{h},\\\ 1\,025,70\\ \text{h}).
  • Interpretação (como dizer isso numa prova): com 95,0\% de confiança, o verdadeiro tempo de vida médio \mu das lâmpadas está entre aproximadamente 1\,002,30 horas e 1\,025,70 horas. Ou seja, se repetíssemos o procedimento muitas vezes, em cerca de 95\% das amostras semelhantes o intervalo construído conteria o verdadeiro \mu.

Passo 3

Construção do intervalo de confiança para a variância (parte inicial do item b).
  • Por que usar esta fórmula: para estimar a variância populacional \sigma^2 usamos a estatística
    \Chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2},
    que segue a distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Portanto, podemos inverter desigualdades envolvendo quantis da qui-quadrado para obter um intervalo para \sigma^2.
  • Fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^2:
    \left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\;n-1}},\\ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\;n-1}}\right),
    onde \chi^2_{p,\;v} é o quantil que satisfaz P(\Chi^2_v \le \chi^2_{p,v})=p.
  • Para 95,0\% temos \alpha=0,05. Com n-1=19 graus de liberdade, os quantis (tabela) são aproximadamente:
    \chi^2_{0,975,\;19}=32,852,\qquad \chi^2_{0,025,\;19}=8,907.
    (Estes valores são os quantis da distribuição qui-quadrado: P(\Chi^2_{19}\le 32,852)=0,975 e P(\Chi^2_{19}\le 8,907)=0,025.)
  • Cálculo passo a passo:
    (n-1)s^2=19\cdot 25^2=19\cdot625=11\,875.
\text{limite inferior para }\sigma^2=\frac{11\,875}{\chi^2_{0,975,19}}=\frac{11\,875}{32,852}=361,50\dots
\text{limite superior para }\sigma^2=\frac{11\,875}{\chi^2_{0,025,19}}=\frac{11\,875}{8,907}=1\,333,08\dots
Assim o intervalo para a variância é aproximadamente
(361,50\\ \text{horas}^2,\\\ 1\,333,08\\ \text{horas}^2).
  • Interpretação: com 95,0\% de confiança, a variância verdadeira \sigma^2 da vida das lâmpadas está entre aproximadamente 361,50 e 1\,333,08 horas ao quadrado. Em palavras, há incerteza sobre a dispersão; esse intervalo mostra quão grande ou pequena a variância plausivelmente pode ser, dado os dados.

Passo 4

Construção do intervalo de confiança para o desvio padrão (segunda parte do item b).
  • O desvio padrão populacional \sigma é a raiz quadrada da variância. Para obter o intervalo de confiança para \sigma basta tirar raiz quadrada dos limites do intervalo para \sigma^2.
  • Cálculo:
    \sqrt{361,50}=19,015\dots\quad\Rightarrow\quad 19,02\\ \text{(arredondando)}
\sqrt{1\,333,08}=36,515\dots\quad\Rightarrow\quad 36,52\\ \text{(arredondando)}
Logo o intervalo de 95,0\% para \sigma é aproximadamente
(19,02\\ \text{h},\\\ 36,52\\ \text{h}).
  • Interpretação breve: com 95,0\% de confiança, o desvio padrão verdadeiro das vidas das lâmpadas está entre aproximadamente 19,02 horas e 36,52 horas. Isso quantifica a dispersão provável em unidades de horas.

Passo 5

Resumo prático e dica para a prova:
  • Sempre cheque: se n é pequeno e \sigma é desconhecido, use a t-de Student para a média. Para a variância/desvio use a distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.
  • Anote claramente cada símbolo e cada valor crítico usado (tabela ou calculadora). Mostre os cálculos do numerador (n-1)s^2 e dos denominadores \chi^2 — isso costuma garantir pontos na prova.
  • For interpretar: escreva em linguagem simples que “com 95% de confiança” significa que o procedimento constrói intervalos que, em muitas repetições, conteriam o verdadeiro parâmetro em 95% das vezes.

Resposta

a)\\ (1\,002,30\\ \text{h},\\\ 1\,025,70\\ \text{h})
b)\\ \sigma^2\in(361,50\\ \text{h}^2,\\\ 1\,333,08\\ \text{h}^2)
b)\\ \sigma\in(19,02\\ \text{h},\\\ 36,52\\ \text{h})

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