O tempo de vida, em horas, de uma lâmpada de 75 W está sendo estudado. Uma amostra aleatória de 20 lâmpadas apresentou uma vida média de 1.014 horas e um desvio padrão de 25 horas.
a) Construa um intervalo de confiança de
para a vida média da lâmpada e interprete;
b) Construa um intervalo de confiança de
para a variância e para o desvio padrão populacional. Interprete os resultados.
a) Construa um intervalo de confiança de
b) Construa um intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, e os dados fornecidos são estes:
-
Perguntas:
a) Construir um intervalo de confiança depara a vida média da lâmpada e interpretar.
b) Construir um intervalo de confiança depara a variância populacional e para o desvio padrão populacional e interpretar. -
Dados da amostra (retirados do enunciado):
Vou resolver a) e b) passo a passo, mostrando as fórmulas, o significado de cada símbolo e todos os cálculos.
Passo 2
Construção do intervalo de confiança para a média (item a).
-
Por que usar esta fórmula: quando queremos estimar a média populacional
e a variância populacional é desconhecida (isto é, não sabemos ), usamos a distribuição de Student. Como a amostra é relativamente pequena ( ), a aproximação normal não é adequada sem conhecer . A estatística segue uma distribuiçãocom graus de liberdade. -
Fórmula do intervalo de confiança de nível
para : onde:-
é a média amostral, -
é o desvio padrão amostral, -
é o tamanho da amostra, -
é o quantil da distribuição de Student (valor tal que a área à direita é ).
-
-
Para
temos e . Com graus de liberdade, o valor crítico (tabela) é aproximadamente -
Cálculo passo a passo:
Logo o intervalo é
-
Arredondando de forma prática (duas casas decimais em horas):
-
Interpretação (como dizer isso numa prova): com
de confiança, o verdadeiro tempo de vida médio das lâmpadas está entre aproximadamente horas e horas. Ou seja, se repetíssemos o procedimento muitas vezes, em cerca de das amostras semelhantes o intervalo construído conteria o verdadeiro .
Passo 3
Construção do intervalo de confiança para a variância (parte inicial do item b).
-
Por que usar esta fórmula: para estimar a variância populacional
usamos a estatística que segue a distribuição qui-quadrado comgraus de liberdade. Portanto, podemos inverter desigualdades envolvendo quantis da qui-quadrado para obter um intervalo para . -
Fórmula do intervalo de confiança de nível
para : ondeé o quantil que satisfaz . -
Para
temos . Com graus de liberdade, os quantis (tabela) são aproximadamente: (Estes valores são os quantis da distribuição qui-quadrado: e .) -
Cálculo passo a passo:
Assim o intervalo para a variância é aproximadamente
- Interpretação: com
de confiança, a variância verdadeira da vida das lâmpadas está entre aproximadamente e horas ao quadrado. Em palavras, há incerteza sobre a dispersão; esse intervalo mostra quão grande ou pequena a variância plausivelmente pode ser, dado os dados.
Passo 4
Construção do intervalo de confiança para o desvio padrão (segunda parte do item b).
-
O desvio padrão populacional
é a raiz quadrada da variância. Para obter o intervalo de confiança para basta tirar raiz quadrada dos limites do intervalo para . -
Cálculo:
Logo o intervalo de
para
é aproximadamente
- Interpretação breve: com
de confiança, o desvio padrão verdadeiro das vidas das lâmpadas está entre aproximadamente horas e horas. Isso quantifica a dispersão provável em unidades de horas.
Passo 5
Resumo prático e dica para a prova:
- Sempre cheque: se
é pequeno e é desconhecido, use a -de Student para a média. Para a variância/desvio use a distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. - Anote claramente cada símbolo e cada valor crítico usado (tabela ou calculadora). Mostre os cálculos do numerador
e dos denominadores — isso costuma garantir pontos na prova. - For interpretar: escreva em linguagem simples que “com 95% de confiança” significa que o procedimento constrói intervalos que, em muitas repetições, conteriam o verdadeiro parâmetro em 95% das vezes.