Em um estudo sobre produtividade, 15 funcionários que utilizam o método X produziram em média 85 unidades/dia (desvio 12), enquanto 18 funcionários usando o método Y produziram 78 unidades/dia (desvio 15 ). Teste, ao nível de
, se o método X é superior.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede).\n
- Pergunta: Testar, ao nível de significância de
, se o método é superior ao método .\n - Dados do grupo que usa o método
: , (unidades/dia), .\n - Dados do grupo que usa o método
: , (unidades/dia), .\n - Nível de significância:
.\n - Observação clara: estamos comparando duas médias de amostras independentes e queremos saber se a média verdadeira do método
é maior que a do método .
Passo 2
Formular as hipóteses claramente (em palavras e matematicamente).\n
- Em palavras: hipótese nula (
) = não há evidência de que seja superior (a média de não é maior que a de ). Hipótese alternativa ( ) = método tem média maior que .\n - Matematicamente:
onde
é a média populacional de produtividade do método
e
a do método
.\n
- É um teste unilateral à direita (procuramos evidência de
maior).
Passo 3
Escolha do teste e justificativa (sem jargões complexos).\n
- Temos duas amostras independentes, variâncias populacionais desconhecidas e tamanhos amostrais pequenos (
, ).\n - Não vamos assumir que as variâncias são iguais (por segurança), então usamos o teste t de duas amostras com variâncias desiguais — chamado teste de Welch. Ele é o método padrão quando as variâncias podem ser diferentes e as amostras são independentes.
Passo 4
Apresentar a estatística de teste e explicar cada termo.\n
- A estatística de teste de Welch é:
onde:
-
e são as médias das amostras (fornecidas), -
e são as variâncias amostrais ( é ao quadrado), -
e são os tamanhos das amostras.\n - Interpretação rápida: numerador = diferença observada entre médias; denominador = erro padrão da diferença (uma medida de quão “variável” essa diferença pode ser por acaso).
Passo 5
Calcular o denominador (erro padrão) passo a passo.\n
- Primeiro calcule as variâncias amostrais:
, .\n - Calcule as parcelas:
- Some e faça a raiz:
(esse
é o denominador da estatística
).
Passo 6
Calcular a estatística
numericamente e interpretar o sinal.\n
- Diferença das médias:
.\n - Estatística:
- Interpretação do sinal:
indica que a média de é maior que a de na amostra. Mas precisamos ver se esse é grande o bastante para ser estatisticamente significativo (comparar com valor crítico ou p-valor).
Passo 7
Calcular os graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch-Satterthwaite) e explicar o porquê.\n
- Fórmula:
- Calculando passo a passo:
- Numerador já sabemos:
\n - Primeiro termo do denominador:
- Numerador já sabemos:
- Segundo termo do denominador:
- Soma do denominador:
\n - Logo:
- Comentário: usamos
não inteiro em cálculo, mas para consulta de tabela arredondamos (aqui para ) ou usamos software; arredondar para inteiro próximo é prática comum.
Passo 8
Determinar o valor crítico e a regra de decisão (tabela t).\n
- É um teste unilateral à direita com
e .\n - Valor crítico aproximado (consulta em tabela t):
(A leitura em tabela dá um valor muito parecido para
ou
.)\n
- Regra de decisão: rejeitar
em favor de se .
Passo 9
Comparar e calcular p-valor aproximado; concluir.\n
- Comparação direta:
versus .\n - Como
, não rejeitamos ao nível de .\n - Cálculo do p-valor aproximado: para
com , o p-valor unilateral é cerca de (aproximadamente a ).\n - Como
, novamente concluímos que não há evidência suficiente para afirmar que o método é superior ao método ao nível de .\n - Interpretação em linguagem simples: embora a média amostral do método
(85) seja maior que a do (78), essa diferença de unidades/dia não é estatisticamente significativa com tanta certeza (nível ); pode ser atribuída ao acaso segundo este teste rigoroso.
Passo 10
Observações finais, dicas para a prova e incentivo.\n
- Resumo do procedimento que você deve usar na prova: (i) escrever hipóteses, (ii) escolher teste (Welch quando variâncias desconhecidas e possivelmente diferentes), (iii) calcular o
pela fórmula dada, (iv) estimar graus de liberdade pela fórmula de Welch, (v) comparar com crítico ou usar p-valor, (vi) tirar conclusão. Anote sempre as suposições (independência das amostras; aproximadamente normais ou amostras razoavelmente grandes).\n - Dica prática: se a tabela de
não tem o df exato, use o df mais próximo ou arredonde para baixo para ser conservador. Se for permitido usar calculadora/software, obterá p-valor mais preciso.\n - Força — você já tem o passo-a-passo pronto para aplicar em outros problemas parecidos; repita essa sequência que fica automático na hora da prova!
Resposta
Não rejeita
; não há evidência, ao nível de
, de que o método
seja superior ao método
.