Em um estudo sobre produtividade, 15 funcionários que utilizam o método X produziram em média 85 unidades/dia (desvio 12), enquanto 18 funcionários usando o método Y produziram 78 unidades/dia (desvio 15 ). Teste, ao nível de 1 \%, se o método X é superior.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede).\n
  • Pergunta: Testar, ao nível de significância de 1\%, se o método X é superior ao método Y.\n
  • Dados do grupo que usa o método X: n_1 = 15, \bar{x}_1 = 85 (unidades/dia), s_1 = 12.\n
  • Dados do grupo que usa o método Y: n_2 = 18, \bar{x}_2 = 78 (unidades/dia), s_2 = 15.\n
  • Nível de significância: \alpha = 0{,}01.\n
  • Observação clara: estamos comparando duas médias de amostras independentes e queremos saber se a média verdadeira do método X é maior que a do método Y.

Passo 2

Formular as hipóteses claramente (em palavras e matematicamente).\n
  • Em palavras: hipótese nula ( H_0) = não há evidência de que X seja superior (a média de X não é maior que a de Y). Hipótese alternativa ( H_1) = método X tem média maior que Y.\n
  • Matematicamente:
H_0: \mu_1 \le \mu_2
H_1: \mu_1 > \mu_2
onde \mu_1 é a média populacional de produtividade do método X e \mu_2 a do método Y.\n
  • É um teste unilateral à direita (procuramos evidência de \mu_1 maior).

Passo 3

Escolha do teste e justificativa (sem jargões complexos).\n
  • Temos duas amostras independentes, variâncias populacionais desconhecidas e tamanhos amostrais pequenos ( n_1=15, n_2=18).\n
  • Não vamos assumir que as variâncias são iguais (por segurança), então usamos o teste t de duas amostras com variâncias desiguais — chamado teste de Welch. Ele é o método padrão quando as variâncias podem ser diferentes e as amostras são independentes.

Passo 4

Apresentar a estatística de teste e explicar cada termo.\n
  • A estatística de teste de Welch é:
t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}
onde:
  • \bar{x}_1 e \bar{x}_2 são as médias das amostras (fornecidas),
  • s_1^2 e s_2^2 são as variâncias amostrais ( s^2 é s ao quadrado),
  • n_1 e n_2 são os tamanhos das amostras.\n
  • Interpretação rápida: numerador = diferença observada entre médias; denominador = erro padrão da diferença (uma medida de quão “variável” essa diferença pode ser por acaso).

Passo 5

Calcular o denominador (erro padrão) passo a passo.\n
  • Primeiro calcule as variâncias amostrais: s_1^2 = 12^2 = 144, s_2^2 = 15^2 = 225.\n
  • Calcule as parcelas:
\dfrac{s_1^2}{n_1} = \dfrac{144}{15} = 9{,}6
\dfrac{s_2^2}{n_2} = \dfrac{225}{18} = 12{,}5
  • Some e faça a raiz:
\text{s.e.} = \sqrt{9{,}6 + 12{,}5} = \sqrt{22{,}1} \approx 4{,}701
(esse \text{s.e.} é o denominador da estatística t).

Passo 6

Calcular a estatística t numericamente e interpretar o sinal.\n
  • Diferença das médias: \bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 85 - 78 = 7.\n
  • Estatística:
t = \frac{7}{\sqrt{22{,}1}} \approx \frac{7}{4{,}701} \approx 1{,}489.
  • Interpretação do sinal: t>0 indica que a média de X é maior que a de Y na amostra. Mas precisamos ver se esse t é grande o bastante para ser estatisticamente significativo (comparar com valor crítico ou p-valor).

Passo 7

Calcular os graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch-Satterthwaite) e explicar o porquê.\n
  • Fórmula:
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{s_1^4}{n_1^2 (n_1-1)} + \dfrac{s_2^4}{n_2^2 (n_2-1)} }
  • Calculando passo a passo:
    • Numerador já sabemos: \left(9{,}6 + 12{,}5\right)^2 = (22{,}1)^2 = 488{,}41.\n
    • Primeiro termo do denominador:
\dfrac{s_1^4}{n_1^2 (n_1-1)} = \dfrac{144^2}{15^2\cdot 14} = \dfrac{20\,736}{225\cdot 14} = \dfrac{20\,736}{3\,150} \approx 6{,}584.
  • Segundo termo do denominador:
\dfrac{s_2^4}{n_2^2 (n_2-1)} = \dfrac{225^2}{18^2\cdot 17} = \dfrac{50\,625}{324\cdot 17} = \dfrac{50\,625}{5\,508} \approx 9{,}192.
  • Soma do denominador: 6{,}584 + 9{,}192 \approx 15{,}776.\n
  • Logo:
\nu \approx \frac{488{,}41}{15{,}776} \approx 30{,}95 \approx 31 \text{ (aproximadamente).}
  • Comentário: usamos \nu não inteiro em cálculo, mas para consulta de tabela arredondamos (aqui para 31) ou usamos software; arredondar para inteiro próximo é prática comum.

Passo 8

Determinar o valor crítico e a regra de decisão (tabela t).\n
  • É um teste unilateral à direita com \alpha = 0{,}01 e \nu \approx 31.\n
  • Valor crítico aproximado (consulta em tabela t): t_{\text{crit}} \approx t_{31,\,0{,}99} \approx 2{,}457.
(A leitura em tabela dá um valor muito parecido para df=30 ou df=31.)\n
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 em favor de H_1 se t > t_{\text{crit}}.

Passo 9

Comparar e calcular p-valor aproximado; concluir.\n
  • Comparação direta: t \approx 1{,}489 versus t_{\text{crit}} \approx 2{,}457.\n
  • Como 1{,}489 < 2{,}457, não rejeitamos H_0 ao nível de 1\%.\n
  • Cálculo do p-valor aproximado: para t=1{,}489 com \nu\approx 31, o p-valor unilateral é cerca de 0{,}07 (aproximadamente 0{,}073 a 0{,}075).\n
  • Como p \approx 0{,}07 > 0{,}01, novamente concluímos que não há evidência suficiente para afirmar que o método X é superior ao método Y ao nível de 1\%.\n
  • Interpretação em linguagem simples: embora a média amostral do método X (85) seja maior que a do Y (78), essa diferença de 7 unidades/dia não é estatisticamente significativa com tanta certeza (nível 1\%); pode ser atribuída ao acaso segundo este teste rigoroso.

Passo 10

Observações finais, dicas para a prova e incentivo.\n
  • Resumo do procedimento que você deve usar na prova: (i) escrever hipóteses, (ii) escolher teste (Welch quando variâncias desconhecidas e possivelmente diferentes), (iii) calcular o t pela fórmula dada, (iv) estimar graus de liberdade pela fórmula de Welch, (v) comparar com t crítico ou usar p-valor, (vi) tirar conclusão. Anote sempre as suposições (independência das amostras; aproximadamente normais ou amostras razoavelmente grandes).\n
  • Dica prática: se a tabela de t não tem o df exato, use o df mais próximo ou arredonde para baixo para ser conservador. Se for permitido usar calculadora/software, obterá p-valor mais preciso.\n
  • Força — você já tem o passo-a-passo pronto para aplicar em outros problemas parecidos; repita essa sequência que fica automático na hora da prova!

Resposta

Não rejeita H_0; não há evidência, ao nível de 1\%, de que o método X seja superior ao método Y.

Exercícios relacionados