Uma amostra de 25 observações de uma população qualquer ( \mu ; \sigma^{2} ) foi coletada, e forneceu uma média amostral de 8 e uma variância amostral igual a 16 . Construa um intervalo de confiança de 95,0 \% para a média, para a variância e para o desvio padrão. Interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três intervalos de confiança com nível de confiança de 95{,}0\%:
  • Tamanho da amostra: n=25.
  • Média amostral: \bar{x}=8.
  • Variância amostral: s^{2}=16. Logo o desvio-padrão amostral é s=\sqrt{16}=4.
Perguntas pedidas:
  1. Construir intervalo de confiança de 95{,}0\% para a média verdadeira \mu.
  2. Construir intervalo de confiança de 95{,}0\% para a variância verdadeira \sigma^{2}.
  3. Construir intervalo de confiança de 95{,}0\% para o desvio-padrão verdadeiro \sigma.
Observação: os cálculos que seguem vão usar métodos clássicos (t de Student para a média quando a variância é desconhecida e qui-quadrado para a variância). Para que o intervalo da variância seja exato é preciso assumir que a população é normalmente distribuída; vou mencionar essa suposição quando for relevante.

Passo 2

Intervalo de confiança de 95\% para a média \mu.
  1. Fórmula e explicação (aula rápida): quando temos uma amostra de tamanho n com média \bar{x} e desvio-padrão amostral s, e a variância populacional é desconhecida, usamos a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é
\bar{x}\pm t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (estimador pontual de \mu).
  • t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1} é o quantil da t com n-1 graus de liberdade tal que P\big(T\le t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}\big)=1-\frac{\alpha}{2}.
  • \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (desvio-padrão da distribuição amostral da média quando substituímos \sigma por s).
  1. Aplicando com os nossos números:
  • n=25 \Rightarrow graus de liberdade n-1=24.
  • Para nível de 95\%, \alpha=0{,}05, então precisamos de t_{0{,}975,\,24}. Usando tabela de t ou calculadora, obtemos
t_{0{,}975,\,24}\approx 2{,}0639.
  • Erro padrão: \dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{4}{\sqrt{25}}=\dfrac{4}{5}=0{,}8.
  • Margem de erro: 2{,}0639\cdot 0{,}8\approx 1{,}6511.
  1. Intervalo:
\bar{x}\pm \text{margem} \Rightarrow 8\pm 1{,}6511,
ou seja
\bigl(8-1{,}6511,\;8+1{,}6511\bigr)\approx\bigl(6{,}3489,\;9{,}6511\bigr).

Passo 3

Interpretação do intervalo para a média (e observações sobre suposições).
  • Interpretação frequencista padrão: dizemos que temos 95\% de confiança de que o verdadeiro valor de \mu está entre \,6{,}3489 e \,9{,}6511. Mais precisamente: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo com o mesmo procedimento, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam o verdadeiro \mu.
  • Suposição: o procedimento com t é exato se a população for normal. Com n=25 a t é razoável mesmo para populações não muito distantes da normal; porém, se a população for fortemente assimétrica ou com caudas pesadas, o intervalo pode não ser muito confiável.

Passo 4

Intervalo de confiança de 95\% para a variância \sigma^{2} (aula rápida sobre qui-quadrado).
  1. Fórmula e explicação: quando a amostra vem de uma população normal, a estatística
\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}
tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. A partir disso, um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^{2} é dado por
\left(\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}},\;\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2},\,n-1}}\right),
onde \chi^{2}_{p,\,\nu} é o quantil tal que P(\chi^{2}_{\nu}\le \chi^{2}_{p,\,\nu})=p.
Notas:
  • O denominador no limite inferior usa \chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}} (valor maior) e no superior usa \chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}} (valor menor), por causa da assimetria da distribuição qui-quadrado.
  1. Aplicando com nossos números:
  • n-1=24.
  • (n-1)s^{2}=24\cdot 16=384.
  • Para \alpha=0{,}05:
    • \chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2},\,24}=\chi^{2}_{0{,}975,\,24}\approx 39{,}364 (valor obtido em tabela de qui-quadrado).
    • \chi^{2}_{\frac{\alpha}{2},\,24}=\chi^{2}_{0{,}025,\,24}\approx 12{,}401.
  1. Cálculo dos limites:
  • Limite inferior:
\frac{384}{39{,}364}\approx 9{,}754.
  • Limite superior:
\frac{384}{12{,}401}\approx 30{,}967.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para \sigma^{2} é aproximadamente
\bigl(9{,}754,\;30{,}967\bigr).

Passo 5

Intervalo de confiança de 95\% para o desvio-padrão \sigma.
  • Como \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}, basta tirar raiz quadrada dos extremos do intervalo para \sigma^{2}. Assim:
\sqrt{9{,}754}\approx 3{,}123,\qquad \sqrt{30{,}967}\approx 5{,}566.
  • Logo o intervalo de 95\% para \sigma é aproximadamente
\bigl(3{,}123,\;5{,}566\bigr).

Passo 6

Interpretação dos intervalos da variância e do desvio-padrão e observações finais.
  • Interpretação: com 95\% de confiança, a variância populacional \sigma^{2} está entre aproximadamente 9{,}754 e 30{,}967; o desvio-padrão \sigma está entre aproximadamente 3{,}123 e 5{,}566.
  • Observações sobre suposições: esses intervalos para \sigma^{2} e \sigma são válidos (exatos) sob a suposição de que a população é normal. Se a população não for normal, os intervalos podem não ter a cobertura nominal de 95\%.
  • Comparação com estimadores pontuais: a variância amostral é s^{2}=16 (que está dentro do intervalo (9{,}754,30{,}967)) e o desvio amostral s=4 (que também está dentro do intervalo (3{,}123,5{,}566)). Isso faz sentido: os intervalos são uma medida da incerteza ao estimar os parâmetros populacionais a partir de uma amostra finita.
  • Motivação prática: os intervalos mostram que, apesar da média amostral ser 8, há incerteza na média real (pode ser algo como 6{,}35 até 9{,}65) e que a variabilidade populacional pode variar de cerca de 3{,}12 a 5{,}57 em termos de desvio-padrão. Use essas faixas ao tomar decisões que dependam de média ou dispersão.

Resposta

\displaystyle \mu:\\ (6{,}3489,\;9{,}6511)
\displaystyle \sigma^{2}:\\ (9{,}754,\;30{,}967)
\displaystyle \sigma:\\ (3{,}123,\;5{,}566)

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