Uma amostra de 25 observações de uma população qualquer (
) foi coletada, e forneceu uma média amostral de 8 e uma variância amostral igual a 16 . Construa um intervalo de confiança de
para a média, para a variância e para o desvio padrão. Interprete os resultados.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três intervalos de confiança com nível de confiança de
:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Variância amostral:
. Logo o desvio-padrão amostral é .
Perguntas pedidas:
- Construir intervalo de confiança de
para a média verdadeira . - Construir intervalo de confiança de
para a variância verdadeira . - Construir intervalo de confiança de
para o desvio-padrão verdadeiro .
Observação: os cálculos que seguem vão usar métodos clássicos (t de Student para a média quando a variância é desconhecida e qui-quadrado para a variância). Para que o intervalo da variância seja exato é preciso assumir que a população é normalmente distribuída; vou mencionar essa suposição quando for relevante.
Passo 2
Intervalo de confiança de
para a média
.
- Fórmula e explicação (aula rápida): quando temos uma amostra de tamanho
com média e desvio-padrão amostral , e a variância populacional é desconhecida, usamos a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível para é
Aqui:
-
é a média amostral (estimador pontual de ). -
é o quantil da t com graus de liberdade tal que . -
é o erro padrão da média (desvio-padrão da distribuição amostral da média quando substituímos por ).
- Aplicando com os nossos números:
-
graus de liberdade . - Para nível de
, , então precisamos de . Usando tabela de t ou calculadora, obtemos
- Erro padrão:
- Margem de erro:
- Intervalo:
ou seja
Passo 3
Interpretação do intervalo para a média (e observações sobre suposições).
- Interpretação frequencista padrão: dizemos que temos
de confiança de que o verdadeiro valor de está entre e . Mais precisamente: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo com o mesmo procedimento, aproximadamente desses intervalos conteriam o verdadeiro . - Suposição: o procedimento com t é exato se a população for normal. Com
a t é razoável mesmo para populações não muito distantes da normal; porém, se a população for fortemente assimétrica ou com caudas pesadas, o intervalo pode não ser muito confiável.
Passo 4
Intervalo de confiança de
para a variância
(aula rápida sobre qui-quadrado).
- Fórmula e explicação: quando a amostra vem de uma população normal, a estatística
tem distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade. A partir disso, um intervalo de confiança de nível
para
é dado por
onde
é o quantil tal que
.
Notas:
- O denominador no limite inferior usa
(valor maior) e no superior usa (valor menor), por causa da assimetria da distribuição qui-quadrado.
- Aplicando com nossos números:
-
. -
- Para
: -
(valor obtido em tabela de qui-quadrado). -
-
- Cálculo dos limites:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Portanto o intervalo de confiança de
para
é aproximadamente
Passo 5
Intervalo de confiança de
para o desvio-padrão
.
- Como
, basta tirar raiz quadrada dos extremos do intervalo para . Assim:
- Logo o intervalo de
para é aproximadamente
Passo 6
Interpretação dos intervalos da variância e do desvio-padrão e observações finais.
- Interpretação: com
de confiança, a variância populacional está entre aproximadamente e ; o desvio-padrão está entre aproximadamente e . - Observações sobre suposições: esses intervalos para
e são válidos (exatos) sob a suposição de que a população é normal. Se a população não for normal, os intervalos podem não ter a cobertura nominal de . - Comparação com estimadores pontuais: a variância amostral é
(que está dentro do intervalo ) e o desvio amostral (que também está dentro do intervalo ). Isso faz sentido: os intervalos são uma medida da incerteza ao estimar os parâmetros populacionais a partir de uma amostra finita. - Motivação prática: os intervalos mostram que, apesar da média amostral ser
, há incerteza na média real (pode ser algo como até ) e que a variabilidade populacional pode variar de cerca de a em termos de desvio-padrão. Use essas faixas ao tomar decisões que dependam de média ou dispersão.