Verifique se
é LI ou LD, nos seguintes casos:
.
Passo 1
Então, a gente precisa verificar se o conjunto de vetores
é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional, ou seja, no
. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e ver se um dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser Linearmente Independente. Um conjunto de vetores é LI se a única solução para a equação
for
e
. Se existir alguma solução diferente disso, o conjunto é LD.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
Queremos encontrar se existem escalares
e
tais que:
Passo 4
Vamos escrever isso componente por componente:
- Na primeira componente:
- Na segunda componente:
- Na terceira componente:
Passo 5
Da primeira equação, não aprendemos nada novo, pois
é sempre verdadeiro. Então, vamos focar nas outras duas:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 7
Agora que sabemos que
, substituímos na segunda equação:
Passo 8
Encontramos que
e
são as únicas soluções para a equação
. Isso significa que não existe uma combinação não trivial dos vetores que resulte no vetor nulo.
Resposta
O conjunto
é Linearmente Independente (LI).