Tendo \hat{\mathbf{q}}_{1} como um vetor unitário na direção crescente de q_{1}, mostre que
(a) \boldsymbol{\nabla} \cdot \hat{\mathbf{q}}_{1}=\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \frac{\partial\left(h_{2} h_{3}\right)}{\partial q_{1}}
Note que, mesmo que \hat{\mathbf{q}}_{1} seja um vetor unitário, sua divergência e rotacional não desaparecem necessariamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas curvilíneas ortogonais com fatores de escala h_{1},h_{2},h_{3}, a divergência do vetor unitário \hat{\mathbf{q}}_{1} vale
\boldsymbol{\nabla}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{1} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial\bigl(h_{2}h_{3}\bigr)}{\partial q_{1}}.
O conteúdo necessário é a fórmula da divergência em coordenadas ortogonais.

Passo 2

Em coordenadas curvilíneas ortogonais, para um campo vetorial genérico \mathbf{A}=A_{1}\,\hat{\mathbf{q}}_{1}+A_{2}\,\hat{\mathbf{q}}_{2}+A_{3}\,\hat{\mathbf{q}}_{3}, a divergência é dada por
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \Biggl[ \frac{\partial}{\partial q_{1}}\bigl(h_{2}h_{3}\,A_{1}\bigr) +\frac{\partial}{\partial q_{2}}\bigl(h_{3}h_{1}\,A_{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial q_{3}}\bigl(h_{1}h_{2}\,A_{3}\bigr) \Biggr].
Essa expressão surge da definição \nabla\cdot\mathbf{A}=\tfrac{1}{\sqrt{g}}\partial_{i}(\sqrt{g}\,A^{i}) com \sqrt{g}=h_{1}h_{2}h_{3}.

Passo 3

Agora escolhemos \mathbf{A}=\hat{\mathbf{q}}_{1}. Nesse caso, em componentes escalares,
A_{1}=1, \quad A_{2}=0, \quad A_{3}=0.
Logo, na fórmula da divergência só permanece o termo com A_{1}.

Passo 4

Substituindo A_{1}=1 e A_{2}=A_{3}=0 em
\boldsymbol{\nabla}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{1} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \Bigl[ \frac{\partial}{\partial q_{1}}\bigl(h_{2}h_{3}\cdot1\bigr) +\underbrace{\frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_{3}h_{1}\cdot0)}_{0} +\underbrace{\frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_{1}h_{2}\cdot0)}_{0} \Bigr],
ficamos com
\boldsymbol{\nabla}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{1} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial\bigl(h_{2}h_{3}\bigr)}{\partial q_{1}},
que é justamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

\boldsymbol{\nabla}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{1} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial\bigl(h_{2}h_{3}\bigr)}{\partial q_{1}}.

Exercícios relacionados