Tendo em vista o exercício 1, podemos corrigir o movimento do núcleo no hidrogênio simplesmente substituindo a massa do elétron pela massa reduzida.
Calcule o porcentual de erro (para dois algarismos significativos) na energia de ligação do hidrogênio (Equação 4.77 da Ref. [1]) introduzida pelo uso de
em vez de
.
Calcule o porcentual de erro (para dois algarismos significativos) na energia de ligação do hidrogênio (Equação 4.77 da Ref. [1]) introduzida pelo uso de
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular o porcentual de erro introduzido na energia de ligação do hidrogênio ao usar a massa do elétron
no lugar da massa reduzida .
Informações relevantes fornecidas ou necessárias: - A energia de ligação (Equação 4.77 da referência) é proporcional à massa reduzida
do sistema elétron-próton (o fator de proporcionalidade envolve constantes, mas não precisamos delas porque o erro relativo vem só da razão de massas). - A massa do elétron será chamada de
. - A massa do núcleo (próton) será chamada de
. - Valores conhecidos de constantes de massa: a razão massa do próton para a massa do elétron é aproximadamente
. (Esse número foi usado só para o cálculo numérico.)
Passo 2
O que é a massa reduzida
e por que ela aparece na energia:
- Em problemas de dois corpos (elétron + próton) pode-se separar o movimento em movimento do centro de massa e movimento relativo; o movimento relativo comporta-se como se fosse uma partícula com massa igual à massa reduzida.
- A definição da massa reduzida é
onde
é a massa do elétron e
é a massa do próton.
- Intuição rápida: quando
(caso do próton), fica muito próxima de mas ligeiramente menor. Essa ligeira diferença causa o pequeno erro que queremos quantificar.
Passo 3
Como a energia de ligação depende de
(fórmula e explicação das variáveis):
- A fórmula da energia do nível
para o átomo de hidrogênio (forma geral da Equação 4.77) pode ser escrita como
onde:
-
é a massa reduzida definida acima, -
é a carga elementar, -
é a permissividade do vácuo, -
é a constante de Planck reduzida, -
é o número quântico principal. - Nota importante: para um dado nível
todos os outros fatores são constantes; portanto a energia é diretamente proporcional a . Assim, usar em vez de multiplica a energia por .
Passo 4
Fórmula do erro percentual que queremos calcular e álgebra inicial:
- Definimos o erro percentual relativo como
- Como
massa (fixos os demais fatores),
Substituindo na expressão do erro:
Passo 5
Simplificar a expressão
usando a definição de
:
- Começando de
calcula-se
- Então
- Conclusão prática: o erro percentual relativo simplifica-se muito:
Isto é intuitivo: a diferença relativa entre usar
e
é do mesmo tamanho da razão massa do elétron sobre a massa do próton.
Passo 6
Cálculo numérico e arredondamento para dois algarismos significativos:
- Usando a razão
obtém-se
- Multiplicando por
:
- Arredondando para dois algarismos significativos (ou seja, dois dígitos na mantissa:
) temos