Tendo em vista o exercício 1, podemos corrigir o movimento do núcleo no hidrogênio simplesmente substituindo a massa do elétron pela massa reduzida.
Calcule o porcentual de erro (para dois algarismos significativos) na energia de ligação do hidrogênio (Equação 4.77 da Ref. [1]) introduzida pelo uso de m em vez de \mu.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular o porcentual de erro introduzido na energia de ligação do hidrogênio ao usar a massa do elétron m no lugar da massa reduzida \mu.
    Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
  • A energia de ligação (Equação 4.77 da referência) é proporcional à massa reduzida \mu do sistema elétron-próton (o fator de proporcionalidade envolve constantes, mas não precisamos delas porque o erro relativo vem só da razão de massas).
  • A massa do elétron será chamada de m.
  • A massa do núcleo (próton) será chamada de M.
  • Valores conhecidos de constantes de massa: a razão massa do próton para a massa do elétron é aproximadamente \dfrac{M}{m}\approx 1836{,}15267343. (Esse número foi usado só para o cálculo numérico.)

Passo 2

O que é a massa reduzida \mu e por que ela aparece na energia:
  • Em problemas de dois corpos (elétron + próton) pode-se separar o movimento em movimento do centro de massa e movimento relativo; o movimento relativo comporta-se como se fosse uma partícula com massa igual à massa reduzida.
  • A definição da massa reduzida é
\mu=\frac{mM}{m+M},
onde m é a massa do elétron e M é a massa do próton.
  • Intuição rápida: quando M\gg m (caso do próton), \mu fica muito próxima de m mas ligeiramente menor. Essa ligeira diferença causa o pequeno erro que queremos quantificar.

Passo 3

Como a energia de ligação depende de \mu (fórmula e explicação das variáveis):
  • A fórmula da energia do nível n para o átomo de hidrogênio (forma geral da Equação 4.77) pode ser escrita como
E_n = -\frac{\mu e^{4}}{2(4\pi\varepsilon_0)^{2}\hbar^{2}}\frac{1}{n^{2}},
onde:
  • \mu é a massa reduzida definida acima,
  • e é a carga elementar,
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo,
  • \hbar é a constante de Planck reduzida,
  • n é o número quântico principal.
  • Nota importante: para um dado nível n todos os outros fatores são constantes; portanto a energia é diretamente proporcional a \mu. Assim, usar m em vez de \mu multiplica a energia por \dfrac{m}{\mu}.

Passo 4

Fórmula do erro percentual que queremos calcular e álgebra inicial:
  • Definimos o erro percentual relativo como
\text{erro \%}=\frac{E_{\text{usando }m}-E_{\text{usando }\mu}}{E_{\text{usando }\mu}}\times 100\%.
  • Como E\propto massa (fixos os demais fatores),
E_{\text{usando }m} = \frac{m}{\mu}\,E_{\text{usando }\mu}.
Substituindo na expressão do erro:
\text{erro \%}=\left(\frac{m}{\mu}-1\right)\times100\%=\frac{m-\mu}{\mu}\times100\%.

Passo 5

Simplificar a expressão \dfrac{m-\mu}{\mu} usando a definição de \mu:
  • Começando de \mu=\dfrac{mM}{m+M} calcula-se
m-\mu = m - \frac{mM}{m+M} = \frac{m(m+M)-mM}{m+M}=\frac{m^{2}}{m+M}.
  • Então
\frac{m-\mu}{\mu} = \frac{\dfrac{m^{2}}{m+M}}{\dfrac{mM}{m+M}} = \frac{m^{2}}{mM} = \frac{m}{M}.
  • Conclusão prática: o erro percentual relativo simplifica-se muito:
\text{erro \%}=\frac{m}{M}\times100\%.
Isto é intuitivo: a diferença relativa entre usar m e \mu é do mesmo tamanho da razão massa do elétron sobre a massa do próton.

Passo 6

Cálculo numérico e arredondamento para dois algarismos significativos:
  • Usando a razão \dfrac{M}{m}\approx 1836{,}15267343 obtém-se
\frac{m}{M}=\frac{1}{1836{,}15267343}\approx 0{,}00054433.
  • Multiplicando por 100\%:
\text{erro \%}\approx 0{,}054433\%.
  • Arredondando para dois algarismos significativos (ou seja, dois dígitos na mantissa: 5{,}4) temos
\text{erro \%}\approx 0{,}054\%.

Resposta

0{,}054\%

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