Uma tensão v(t)=500 \operatorname{sen}\left(5000 t+45^{\circ}\right) é aplicada a um circuito série que contém um resistor, um indutor de 20 mH e um capacitor. Sabendo que a corrente que circula pelo mesmo é i(t)=5 \operatorname{sen}\left(5000 t+90^{\circ}\right), encontre os elementos desconhecidos do circuito.

Passo 1

O enunciado dá uma tensão \displaystyle v(t)=500\operatorname{sen}\bigl(5000\,t+45^\circ\bigr)
e uma corrente \displaystyle i(t)=5\operatorname{sen}\bigl(5000\,t+90^\circ\bigr)
num circuito série com resistor R, indutor de L=20\text{ mH} e capacitor C desconhecido.
O conteúdo aqui é a análise fasorial em regime permanente senoidal: vamos converter v(t) e i(t) em fasores, achar a impedância Z, separar parte real e imaginária e daí determinar R e C.

Passo 2

Passamos as formas temporais para fasores de pico:
\mathbf V = 500\angle 45^\circ,
\mathbf I = 5\angle 90^\circ.

Passo 3

A impedância total é
\mathbf Z = \frac{\mathbf V}{\mathbf I} = \frac{500\angle 45^\circ}{5\angle 90^\circ} =100\angle(45^\circ-90^\circ) =100\angle(-45^\circ)\,\Omega.

Passo 4

Convertendo para forma retangular:
\mathbf Z =100\bigl(\cos(-45^\circ)+j\sin(-45^\circ)\bigr) =100\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}-j\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) =70{,}71 - j\,70{,}71\;\Omega.
Em série vale \displaystyle \mathbf Z = R + j\bigl(X_L - X_C\bigr).

Passo 5

Sabendo que
X_L=\omega L=5000\cdot0{,}02=100\;\Omega,
temos a parte real
R=70{,}71\;\Omega,
e a parte imaginária
100 - X_C = -70{,}71 \quad\Longrightarrow\quad X_C=100+70{,}71=170{,}71\;\Omega.

Passo 6

Como
X_C=\frac{1}{\omega C} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{\omega\,X_C} =\frac{1}{5000\cdot170{,}71} \approx1{,}17\times10^{-6}\text{ F} =1{,}17\;\mu\text{F}.

Resposta

R=70{,}71\;\Omega C\approx1{,}17\;\mu\text{F}

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