Qual a potência média em um resistor de 25 \Omega no qual circula uma corrente i(t)=2+3 \operatorname{sen}(\omega t)+2 \operatorname{sen}(2 \omega t)+1 \operatorname{sen}(3 \omega t).

Passo 1

O enunciado dá um resistor de R = 25\\ \Omega percorrido por uma corrente
i(t) = 2 + 3\sin(\omega t) + 2\sin(2\omega t) + 1\sin(3\omega t)
e pede a potência média. Para um resistor, a potência média é
P_{\text m} = R\,\overline{i^2(t)},
ou seja, precisamos calcular a média temporal de i^2(t).

Passo 2

Escrevemos
i^2(t) = \bigl(2 + 3\sin(\omega t) + 2\sin(2\omega t) + \sin(3\omega t)\bigr)^2.
Ao expandir, aparecem termos constantes ao quadrado, termos mistos (produto de senoides) e quadrados de seno.

Passo 3

Sabemos que, ao calcular a média temporal:
  1. A média de qualquer \sin(n\omega t) é zero.
  2. A média de \sin^2(n\omega t) é \tfrac12.
  3. A média de produto \sin(m\omega t)\sin(n\omega t) é zero quando m\neq n.
    Logo, na média só sobrevivem o quadrado do termo DC e os quadrados das amplitudes das senoides:
\overline{i^2(t)} = 2^2 \;+\;\frac{1}{2}\bigl(3^2 + 2^2 + 1^2\bigr).

Passo 4

Calculando os valores numéricos:
2^2 = 4, \qquad 3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14, \qquad \frac{14}{2} = 7.
Logo
\overline{i^2(t)} = 4 + 7 = 11.

Passo 5

Então a potência média é
P_{\text m} = R\,\overline{i^2(t)} = 25 \times 11 = 275.

Resposta

A potência média dissipada no resistor é 275\\ \text{W}.

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