Questão 3. Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x-3}{2 y^{2}-2 y} \\\ y(0)=2 \end{array}\right.
Resolva a equação diferencial, encontre a solução do PVI e faça um esboço do seu gráfico. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado nos pede e o que nos dá.
  • O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2x-3}{2y^{2}-2y},\\[6pt] y(0)=2. \end{cases}
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Resolver a equação diferencial (ou seja, encontrar a solução geral e então a solução que satisfaz a condição inicial).
    2. Encontrar a solução do PVI (aquela que passa por (0,2)).
    3. Fazer um esboço do gráfico dessa solução e determinar o intervalo de validade da solução do PVI (ou seja, até onde, em x, essa solução existe e é única).
  • Informações relevantes dadas:
    • A expressão para a derivada é \dfrac{2x-3}{2y^{2}-2y}.
    • A condição inicial é y(0)=2.
    • Note que o denominador 2y^{2}-2y anula-se quando y=0 ou y=1; nesses valores a equação não está definida. Esses valores são potenciais pontos singulares para a solução (pontos onde a solução não pode continuar, a menos que a condição inicial já fosse exatamente naquele valor).]

Passo 2

Classificando e escolhendo método (sem resolver ainda): a equação é de variáveis separáveis porque a derivada aparece como uma função de x multiplicada por uma função (recíproca) de y. Em problemas de variáveis separáveis a ideia é escrever todos os termos em y multiplicando dy de um lado e todos os termos em x multiplicando dx do outro, e então integrar ambos os lados. Não vamos usar métodos mais complicados porque separação é direto aqui.

Passo 3

Separação de variáveis: escrevemos a equação de forma a isolar dy e dx com suas respectivas funções.
A equação é
\frac{dy}{dx}=\frac{2x-3}{2y^{2}-2y}.
Reescrevendo o denominador em fatorado:
2y^{2}-2y=2\bigl(y^{2}-y\bigr)=2y(y-1).
Portanto a equação fica
\frac{dy}{dx}=\frac{2x-3}{2y(y-1)}.
Multiplicando ambos os lados por 2y(y-1)\,dx obtemos a separação:
2y(y-1)\,dy=(2x-3)\,dx.

Passo 4

Integração das duas partes: agora integramos ambos os lados.
Integramos o lado esquerdo em y e o lado direito em x:
\int 2y(y-1)\,dy=\int (2x-3)\,dx.
Calcule o integral à esquerda passo a passo:
2y(y-1)=2(y^2-y)
\int 2(y^2-y)\,dy = 2\left(\frac{y^3}{3}-\frac{y^2}{2}\right)=\frac{2}{3}y^3-y^2.
Calcule o integral à direita:
\int(2x-3)\,dx = x^2-3x + C,
onde C é a constante de integração.
Assim, a relação implícita entre x e y é
\frac{2}{3}y^3-y^2 = x^2-3x + C.

Passo 5

Determinar a constante usando a condição inicial y(0)=2.
Substituindo x=0 e y=2 na relação implícita:
\frac{2}{3}\cdot 2^3 - 2^2 = 0^2 - 3\cdot 0 + C.
Calcule o lado esquerdo:
\frac{2}{3}\cdot 8 - 4 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16-12}{3} = \frac{4}{3}.
Logo C=\dfrac{4}{3}.
Portanto a solução do PVI (de forma implícita) é
\frac{2}{3}y^3-y^2 = x^2-3x + \frac{4}{3}.
Para ficar sem frações multiplicamos por 3 (opcional, mas deixa mais “limpo”):
2y^3-3y^2 = 3x^2-9x+4.
Observação: essa é uma equação implícita de grau 3 em y. Em geral não é necessário isolar y em função de x explicitamente para os propósitos do PVI — a forma implícita já define a curva solução. Se precisasse de y(x) explicitamente teríamos que resolver uma cúbica, o que é trabalhoso e desnecessário aqui.

Passo 6

Comportamento local e esboço do gráfico perto do ponto inicial.
  • A solução passa por (0,2) porque impusemos a condição inicial.
  • A inclinação no ponto inicial é
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(0,2)}=\frac{2\cdot 0-3}{2\cdot 2^{2}-2\cdot 2}=\frac{-3}{8-4}=\frac{-3}{4}.
Isto é, a curva passa por (0,2) com declive -\tfrac{3}{4}: começa decrescendo quando saímos para a direita em x.
  • Como o denominador da ODE é 2y(y-1), quando a solução se aproxima de y=1 o denominador tende a zero. Isso faz com que \dfrac{dy}{dx} tenda a infinito em módulo — a solução verticaliza (tende a uma inclinação vertical) ao chegar em y=1. Do sinal da expressão concluímos que, chegando em y=1 por cima ( y\searrow 1), a taxa \dfrac{dy}{dx} tende a -\infty se o numerador for negativo naquele x. Isso concorda com a ideia de uma curva descendo rapidamente até esbarrar em y=1.
Esboço qualitativo: marcar o ponto (0,2) e desenhar uma curva que decresce ao sair para a direita, ficando cada vez mais inclinada negativamente e aproximando-se verticalmente de y=1. Para x negativos a curva fica acima de 2 (ou cresce ao ir para a esquerda), e não há cruzamento de y=1 para x<0 conforme veremos no passo seguinte (onde determinamos o intervalo).

Passo 7

Determinar o intervalo de validade da solução do PVI.
Regra prática: a solução do PVI, tomando a solução que passa por (0,2), pode ser prolongada até que alcance um ponto em que a função do lado direito da ODE deixe de ser contínua na variável y. Aqui esses pontos problemáticos são exatamente y=0 e y=1 (zeros do denominador). Para achar onde, em termos de x, a solução atinge y=1 ou y=0 com a constante já determinada, substituímos y=1 e y=0 na equação implícita encontrada.
Primeiro, achar os x tais que a solução tem y=1. Substituindo y=1 em
\frac{2}{3}y^3-y^2 = x^2-3x + \frac{4}{3},
obtemos
\frac{2}{3}\cdot 1 - 1 = x^2-3x + \frac{4}{3}.
O lado esquerdo é \dfrac{2}{3}-1=-\dfrac{1}{3}. Assim
x^2-3x + \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}.
Reorganizando,
x^2-3x + \frac{5}{3}=0.
Multiplicando por 3:
3x^2-9x+5=0.
A solução desta quadrática é
x=\frac{9\pm\sqrt{81-60}}{6}=\frac{9\pm\sqrt{21}}{6}.
Portanto os dois valores onde a curva implícita tem y=1 são
x=\frac{9-\sqrt{21}}{6}\quad\text{e}\quad x=\frac{9+\sqrt{21}}{6}.
Numericamente:
\frac{9-\sqrt{21}}{6}\approx 0{,}7362,\qquad \frac{9+\sqrt{21}}{6}\approx 2{,}2638.
Agora, substituir y=0 dá (pela mesma relação implícita)
0 = x^2-3x + \frac{4}{3},
ou
3x^2-9x+4=0,
cuja solução é
x=\frac{9\pm\sqrt{81-48}}{6}=\frac{9\pm\sqrt{33}}{6},
ou numericamente aproximadamente 0{,}5426 e 2{,}4574. Note que esses valores correspondem a outras ramificações da curva implícita; nem todos os pontos obtidos substituindo y=0 ou y=1 correspondem à mesma folha (ramo) da solução que passa por (0,2). Para saber qual raiz é o extremo da nossa solução devemos ver a evolução a partir de x=0.
Como já observamos no passo anterior, partindo de (0,2) e aumentando x a solução decresce (derivada negativa) e atinge y=1 — e o primeiro encontro com y=1 ao mover-se para a direita é no menor dos dois valores de x encontrados para y=1, isto é
x=\frac{9-\sqrt{21}}{6}\approx 0{,}7362.
Ao atingir y=1 a ODE deixa de fazer sentido (denominador zero), então a solução não pode ser prolongada para além desse x mantendo-se como solução clássica do problema inicial. Para a esquerda de x=0 não aparecem raízes (dos casos y=0 ou y=1) com x<0 na relação implícita com esta constante, de modo que a solução pode ser prolongada indefinidamente para a esquerda (não há singularidade de y em algum x finito negativo). Pelo teorema de existência e unicidade, enquanto a função do lado direito for contínua em y e em x numa vizinhança, a solução pode ser estendida; aqui o único obstáculo para estender é atingir y=1 (ou y=0), o que só ocorre para x positivos maiores que zero.
Conclusão: o intervalo maximal de existência (e validade) da solução do PVI que passa por (0,2) é
\left(-\infty,\; \frac{9-\sqrt{21}}{6}\right),
ou numericamente \left(-\infty,\;0{,}7362\ldots\right).

Resposta

\displaystyle \text{Solução (implícita): }\frac{2}{3}y^{3}-y^{2}=x^{2}-3x+\frac{4}{3}.çãí
\displaystyle \text{Intervalo de validade da solução do PVI: }\left(-\infty,\;\frac{9-\sqrt{21}}{6}\right)\approx(-\infty,\,0{,}7362).çã

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