\left|\frac{-4 x}{y}\right|=
(A) 4 \frac{|x|}{|y|}.
(B) -4 \frac{x}{y}.
(C) -4 \frac{|x|}{|y|}.
(D) 4 \frac{x}{y}.
E N.R.A.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão absoluta \left|\dfrac{-4x}{y}\right| e escolher a alternativa correta entre (A) a (E).\n
Informações dadas:
  • A expressão a ser avaliada é \left|\dfrac{-4x}{y}\right|.\n
    Observação importante (domínio): a expressão com divisão só faz sentido quando y \neq 0. Vou assumir que y \neq 0 porque o enunciado escreve a fração.

Passo 2

Vamos lembrar o que é valor absoluto e as propriedades que vamos usar, explicadas de forma bem didática.\n
Definição básica: o valor absoluto |z| de um número real z é a distância de z até 0 na reta real. Portanto |z|\ge 0 e |z| = -z se z<0, |z|=z se z\ge 0.\n
Propriedades úteis que usaremos:
  • Para dois números reais a e b vale |ab| = |a|\,|b|. Isso significa que o valor absoluto de um produto é o produto dos valores absolutos.\n
  • Para uma divisão com denominador diferente de zero, \left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|} (desde que b\neq 0).\n
  • Em particular, |-c| = |c| para qualquer c, porque sinais não afetam a distância até zero.

Passo 3

Agora aplicamos essas propriedades à expressão dada. Escrevo a igualdade passo a passo (cada etapa é uma aplicação de uma propriedade já explicada):
\left|\dfrac{-4x}{y}\right| = \dfrac{\left|-4x\right|}{\left|y\right|} = \dfrac{\left|-4\right|\,\left|x\right|}{\left|y\right|} = \dfrac{4\,\left|x\right|}{\left|y\right|}
Explicando cada igualdade:
  • Na primeira linha usei \left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|} com a=-4x e b=y.\n
  • Na segunda linha usei |ab| = |a||b| com a=-4 e b=x.\n
  • Na terceira linha usei |-4| = 4, porque o valor absoluto remove o sinal.

Passo 4

Interpretação: a expressão \left|\dfrac{-4x}{y}\right| é igual a 4\dfrac{|x|}{|y|}. Note que o resultado é sempre não negativo, independentemente dos sinais de x e y, porque envolve valores absolutos.\n
Também é importante observar por que as demais alternativas estão erradas (um ou dois contra-exemplos bastam para refutar cada uma):
  • Alternativa (B) -4\dfrac{x}{y}: essa expressão pode ser negativa. Por exemplo, se x=1 e y=1, \left|\dfrac{-4x}{y}\right| = 4 mas -4\dfrac{x}{y} = -4. Logo (B) está errada.\n
  • Alternativa (C) -4\dfrac{|x|}{|y|}: também geralmente negativa (ou zero), enquanto o lado esquerdo é não negativo. Ex.: x=1,y=1 4 no lado esquerdo e -4 na (C). Errada.\n
  • Alternativa (D) 4\dfrac{x}{y}: isso ignora os valores absolutos de x e y. Se x=-1,y=1, a esquerda é 4 mas 4\dfrac{x}{y}=-4. Errada.\n
    Portanto a única que coincide com a igualdade demonstrada é a alternativa (A).

Passo 5

Verificação numérica rápida para ficar seguro (exemplo concreto): escolha x=-2 e y=-3 (ambos não nulos).\n
Calcule a expressão original:
\left|\dfrac{-4x}{y}\right| = \left|\dfrac{-4\cdot(-2)}{-3}\right| = \left|\dfrac{8}{-3}\right| = \dfrac{8}{3}.
Calcule a alternativa (A):
4\dfrac{|x|}{|y|} = 4\dfrac{|-2|}{|-3|} = 4\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}.
Coincidem, confirmando nosso resultado.

Resposta

(A) 4 \dfrac{|x|}{|y|}

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