4.2 A tensão gerada em uma fase de um gerador síncrono trifásico a vazio é da forma v(t)=V_{0} \cos \omega t. Escreva expressões para a tensão nas duas fases restantes.

Passo 1

O enunciado diz que num gerador síncrono trifásico, em vazio, a fase A tem tensão
v_A(t) = V_{0}\,\cos\bigl(\omega t\bigr).
Este é um sistema trifásico equilibrado: as três tensões têm mesma amplitude V_{0} e frequência \omega, mas se defasam de 120^\circ entre si. Para escrever as outras duas fases, vamos usar a propriedade de que, numa sequência positiva (ABC), a fase B atrasa 120^\circ em relação à A e a fase C atrasa 240^\circ (ou adianta 120^\circ).

Passo 2

Como a fase B está atrasada de 120^\circ ( \tfrac{2\pi}{3} rad) em relação à fase A, basta subtrair esse ângulo do argumento do cosseno de v_A(t). Assim,
v_B(t) = V_{0}\,\cos\!\bigl(\omega t - \tfrac{2\pi}{3}\bigr).

Passo 3

Para a fase C, que numa sequência positiva atrasa 240^\circ ( \tfrac{4\pi}{3} rad) em relação à A, podemos escrever
v_C(t) = V_{0}\,\cos\!\bigl(\omega t - \tfrac{4\pi}{3}\bigr).
Alternativamente, perceber que atrasar 240^\circ equivale a adiantar 120^\circ, o que dá a mesma forma:
v_C(t) = V_{0}\,\cos\!\bigl(\omega t + \tfrac{2\pi}{3}\bigr).

Resposta

v_A(t) = V_{0}\cos(\omega t) v_B(t) = V_{0}\cos\bigl(\omega t - \tfrac{2\pi}{3}\bigr) v_C(t) = V_{0}\cos\bigl(\omega t - \tfrac{4\pi}{3}\bigr)
(ou, equivalente, v_C(t)=V_{0}\cos(\omega t + \tfrac{2\pi}{3}))

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