A tensão de saída de uma fonte regulada deveria ter média 12 V . Em uma amostra de 16 medições, obteve-se média 11,6 \mathrm{~V} e desvio padrão 0,7 \mathrm{~V}. Teste, ao nível de 5 \%, se a fonte está operando com tensão menor que o especificado.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, ao nível de significância de 5\%, se a fonte está operando com tensão média menor que o especificado. Dados fornecidos:
n=16,\qquad \bar{x}=11,6\\ \mathrm{V},\qquad s=0,7\\ \mathrm{V},\qquad \mu_0=12\\ \mathrm{V},\qquad \alpha=0,05.
As perguntas implícitas são: formular as hipóteses adequadas, calcular a estatística de teste, comparar com o valor crítico (ou calcular o p-valor) e decidir se há evidência de que a média é menor que 12\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Vamos formular o teste e explicar a ideia por trás dele (passo-a-passo didático). Como a amostra é pequena ( n=16) e o desvio padrão populacional é desconhecido, usamos o teste t para a média.
Hipóteses:
H_0:\\ \mu=12\qquad\text{(tensão média igual a 12 V)}ãé
H_a:\\ \mu<12\qquad\text{(tensão média menor que 12 V, hipótese unilateral à esquerda)}ãéóà
Fórmula da estatística t (explicando cada termo):
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
Aqui \bar{x} é a média amostral ( 11,6), \mu_0 é a média sob H_0 ( 12), s é o desvio-padrão amostral ( 0,7) e \sqrt{n} corrige o desvio para o tamanho da amostra (produzindo o erro padrão).

Passo 3

Calculemos o erro padrão e a estatística t passo a passo (sem pular etapas):
Erro padrão:
\text{erro padrão}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,7}{\sqrt{16}}=\frac{0,7}{4}=0,175.ã
Diferença entre média amostral e hipótese nula:
\bar{x}-\mu_0=11,6-12=-0,4.
Estatística t:
t=\frac{-0,4}{0,175}\approx -2,285714\approx -2,286.

Passo 4

Graus de liberdade e valor crítico. Os graus de liberdade são
\text{g.l.}=n-1=16-1=15.
Para um teste unilateral à esquerda com \alpha=0,05, o valor crítico (obtido em tabela t) é
t_{0,95;15}=1,753,
portanto a fronteira à esquerda é -1,753. A regra de decisão é: rejeitar H_0 se
t_{\text{obs}} < -1,753.
Comparando numéricamente:
t_{\text{obs}}=-2,286 < -1,753.

Passo 5

Cálculo aproximado do p-valor e interpretação didática. O p-valor para teste unilateral à esquerda é
p = P(T_{15}\le t_{\text{obs}}).
Usando tabelas ou software para a distribuição t com 15 g.l., para |t|=2,286 obtemos aproximadamente p-valor unilateral
p\approx 0,018.
Interpretação: o p-valor é a probabilidade, sob H_0, de observarmos uma estatística tão extrema quanto a observada. Como p\approx 0,018<\alpha=0,05, a evidência contra H_0 é suficiente para a rejeição no nível de 5\%.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência, ao nível de 5\%, de que a tensão média é menor que 12\\ \mathrm{V}. (Estatística t\approx -2,286, valor crítico -1,753, p-valor \approx 0,018.)

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