Em um lote de dispositivos eletrônicos, espera-se que no máximo 3 \% falhem em teste de sobretensão. Em uma amostra de 500 dispositivos, 22 falharam. Teste, com 5 \%, se o lote não cumpre o requisito.

Passo 1

O enunciado pede que a gente teste, ao nível de significância de 5\%, se o lote não cumpre o requisito de que no máximo 3\% dos dispositivos falhem no teste de sobretensão. Informações dadas:

\,n=500 (tamanho da amostra).

\,X=22 (número de dispositivos que falharam na amostra).

\,\alpha=0{,}05 (nível de significância).

Pergunta clara: com esses dados, há evidência suficiente para afirmar que a proporção real de falhas no lote é maior que 3\%?

Passo 2

Definimos as hipóteses do teste (uma única cauda à direita, porque queremos saber se a proporção é maior que 3\%):
H_0: p \le 0{,}03
H_1: p > 0{,}03
Explicação: p é a proporção verdadeira de dispositivos que falham no lote. H_0 é a hipótese de que o lote cumpre o requisito (no máximo 3\% falham). H_1 é a hipótese alternativa que queremos detectar — que a proporção excede 3\%.

Passo 3

Escolha do método: vamos usar o teste-z para proporção (aproximação normal à binomial).
Por que isso é válido? A aproximação normal para a proporção sob H_0 é adequada quando \,n p_0 e \,n(1-p_0) são razoavelmente grandes (regra prática: pelo menos 5).
Calculamos:
n p_0 = 500 \cdot 0{,}03 = 15
n(1-p_0) = 500 \cdot 0{,}97 = 485
Ambos são maiores que 5, portanto a aproximação normal é aceitável.

Passo 4

Definimos o estimador e a estatística de teste:

A proporção amostral é \hat{p} = \dfrac{X}{n}.

Sob H_0, a variância de \hat{p} é \dfrac{p_0(1-p_0)}{n}. O desvio padrão (erro padrão) é sua raiz quadrada.

A estatística z é
z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}
Explicando cada termo:

\hat{p} = proporção observada na amostra;

p_0 = proporção sob H_0 (aqui 0{,}03);

o denominador é o erro padrão da proporção assumindo H_0.

Passo 5

Calculemos a proporção amostral:
\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{22}{500} = 0{,}044.
Interpretação: na amostra 4{,}4\% dos dispositivos falharam.

Passo 6

Calculemos o erro padrão sob H_0:
p_0(1-p_0) = 0{,}03 \times 0{,}97 = 0{,}0291.
\frac{p_0(1-p_0)}{n} = \frac{0{,}0291}{500} = 0{,}0000582.
\text{erro padrão} = \sqrt{0{,}0000582} \approx 0{,}007634.ã
Expliquei cada etapa: multiplicação para obter a variância, divisão por n para variância da média de proporções, depois raiz para obter o desvio padrão.

Passo 7

Calculemos a estatística z:
z = \frac{0{,}044 - 0{,}03}{0{,}007634} = \frac{0{,}014}{0{,}007634} \approx 1{,}834.
Interpretação: o valor observado da proporção está cerca de 1{,}834 desvios-padrão acima do valor hipotético p_0=0{,}03.

Passo 8

Critério de decisão para \alpha=0{,}05 no teste unilateral à direita:

Valor crítico da normal padrão: z_{0{,}95} \approx 1{,}645. (Porque queremos a cauda superior com área 0{,}05.)

Comparação: z \approx 1{,}834 > 1{,}645. Logo a estatística cai na região de rejeição de H_0.

Podemos também calcular o p-valor:
\text{p-valor} = 1 - \Phi(1{,}834) \approx 0{,}0335,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Como 0{,}0335 < 0{,}05, também rejeitamos H_0.

Passo 9

Conclusão e interpretação final em linguagem simples:
Há evidência estatística, ao nível de significância de 5\%, de que a proporção verdadeira de dispositivos que falham no teste de sobretensão excede 3\%. Em termos práticos: com base nessa amostra de 500 dispositivos (onde 22 falharam), temos motivo para afirmar que o lote não cumpre o requisito de “no máximo 3\%” de falhas.

Força moral: isso significa que o fabricante/controle de qualidade precisa investigar — não é uma certeza absoluta, mas é evidência suficiente pelo critério escolhido.

Resposta

Rejeita-se H_0; há evidências ao nível de 5\% de que a proporção de falhas é maior que 3\% (p-valor \approx 0{,}0335).

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