Em um lote de dispositivos eletrônicos, espera-se que no máximo
falhem em teste de sobretensão. Em uma amostra de 500 dispositivos, 22 falharam. Teste, com
, se o lote não cumpre o requisito.
Passo 1
O enunciado pede que a gente teste, ao nível de significância de
, se o lote não cumpre o requisito de que no máximo
dos dispositivos falhem no teste de sobretensão. Informações dadas:
(tamanho da amostra).
(número de dispositivos que falharam na amostra).
(nível de significância).
Pergunta clara: com esses dados, há evidência suficiente para afirmar que a proporção real de falhas no lote é maior que ?
Pergunta clara: com esses dados, há evidência suficiente para afirmar que a proporção real de falhas no lote é maior que
Passo 2
Definimos as hipóteses do teste (uma única cauda à direita, porque queremos saber se a proporção é maior que
):
Explicação:
é a proporção verdadeira de dispositivos que falham no lote.
é a hipótese de que o lote cumpre o requisito (no máximo
falham).
é a hipótese alternativa que queremos detectar — que a proporção excede
.
Passo 3
Escolha do método: vamos usar o teste-z para proporção (aproximação normal à binomial).
Por que isso é válido? A aproximação normal para a proporção sob é adequada quando
e
são razoavelmente grandes (regra prática: pelo menos
).
Calculamos:
Por que isso é válido? A aproximação normal para a proporção sob
Calculamos:
Ambos são maiores que
, portanto a aproximação normal é aceitável.
Passo 4
Definimos o estimador e a estatística de teste:
A proporção amostral é .
Sob , a variância de
é
. O desvio padrão (erro padrão) é sua raiz quadrada.
A estatística z é
A proporção amostral é
Sob
A estatística z é
Explicando cada termo:
= proporção observada na amostra;
= proporção sob
(aqui
);
o denominador é o erro padrão da proporção assumindo .
o denominador é o erro padrão da proporção assumindo
Passo 5
Calculemos a proporção amostral:
Interpretação: na amostra
dos dispositivos falharam.
Passo 6
Calculemos o erro padrão sob
:
Expliquei cada etapa: multiplicação para obter a variância, divisão por
para variância da média de proporções, depois raiz para obter o desvio padrão.
Passo 7
Calculemos a estatística z:
Interpretação: o valor observado da proporção está cerca de
desvios-padrão acima do valor hipotético
.
Passo 8
Critério de decisão para
no teste unilateral à direita:
Valor crítico da normal padrão: . (Porque queremos a cauda superior com área
.)
Comparação: . Logo a estatística cai na região de rejeição de
.
Podemos também calcular o p-valor:
Valor crítico da normal padrão:
Comparação:
Podemos também calcular o p-valor:
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Como
, também rejeitamos
.
Passo 9
Conclusão e interpretação final em linguagem simples:
Há evidência estatística, ao nível de significância de , de que a proporção verdadeira de dispositivos que falham no teste de sobretensão excede
. Em termos práticos: com base nessa amostra de
dispositivos (onde
falharam), temos motivo para afirmar que o lote não cumpre o requisito de “no máximo
” de falhas.
Força moral: isso significa que o fabricante/controle de qualidade precisa investigar — não é uma certeza absoluta, mas é evidência suficiente pelo critério escolhido.
Há evidência estatística, ao nível de significância de
Força moral: isso significa que o fabricante/controle de qualidade precisa investigar — não é uma certeza absoluta, mas é evidência suficiente pelo critério escolhido.
Resposta
Rejeita-se
; há evidências ao nível de
de que a proporção de falhas é maior que
(p-valor
).