Uma tensão senoidal de 80 kHz tem uma amplitude de 25 mV e ângulo de fase zero. Quando esta tensão é aplicada aos terminais de um capacitor, a corrente resultante tem uma amplitude de 628,32 \mu \mathrm{~A}.
a) Qual é a frequência da corrente em rad/s?
b) Qual é o ângulo de fase da corrente?
c) Qual é a capacitância do capacitor em \mu \mathrm{F} ?
d) Qual é a impedância capacitiva?

Passo 1

O enunciado dá uma tensão senoidal aplicada aos terminais de um capacitor e fornece a amplitude da corrente resultante. Perguntas:
  • a) Qual é a frequência da corrente em rad/s?
  • b) Qual é o ângulo de fase da corrente?
  • c) Qual é a capacitância do capacitor em \mu\mathrm{F}?
  • d) Qual é a impedância capacitiva?
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente para a gente não se perder):
f = 80\,\text{kHz} = 80\,000\\ \mathrm{Hz},
\text{tensão: amplitude } V_m = 25\,\mathrm{mV} = 25\times 10^{-3}\,\mathrm{V},\\ \text{ângulo } 0^\circ,ãâ
\text{corrente: amplitude } I_m = 628{,}32\,\mu\mathrm{A} = 628{,}32\times10^{-6}\,\mathrm{A}.
Nada mais foi pedido além das quatro quantidades acima.

Passo 2

Conceito-chave (bem mastigado): relação entre tensão e corrente num capacitor no domínio do tempo.
  • Num capacitor ideal, a corrente instantânea i(t) é dada por
i(t)=C\,\frac{dv(t)}{dt},
onde C é a capacitância (em farads), v(t) é a tensão instantânea (em volts) e i(t) é a corrente instantânea (em amperes). Isso vem da definição de capacitância q=Cv e i=\frac{dq}{dt}.
Se a tensão for senoidal:
v(t)=V_m\cos(\omega t+\phi_v),
então derivando:
\frac{dv(t)}{dt} = -\omega V_m\sin(\omega t+\phi_v) = \omega V_m\cos\!\big(\omega t+\phi_v+\tfrac{\pi}{2}\big).
Multiplicando por C:
i(t)=C\omega V_m\cos\!\big(\omega t+\phi_v+\tfrac{\pi}{2}\big).
Logo, em amplitude e fase:
  • amplitude da corrente: I_m = \omega C V_m,
  • a corrente adianta a tensão em 90^\circ (ou \tfrac{\pi}{2} rad): \phi_i=\phi_v+90^\circ.
Também, em termos de fasores/impedância:
Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C},
que tem módulo |Z_C|=\dfrac{1}{\omega C} e ângulo -90^\circ. Esses dois pontos (relação de amplitude e o ângulo) são o que vamos usar.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega.
Fórmula:
\omega = 2\pi f.
Substituindo f=80\,000\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi\cdot 80\,000 = 160\,000\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico aproximado (útil na conta):
\omega \approx 502\,654{,}82\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Determinar o ângulo de fase da corrente.
A partir da derivada mostrada no Passo 2, a corrente adianta a tensão em 90^\circ. Como a tensão tem ângulo 0^\circ, a corrente terá:
\phi_i = 0^\circ + 90^\circ = 90^\circ.
Em radianos isso é \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Calcular a capacitância C usando a relação de amplitudes:
I_m = \omega C V_m \quad\Rightarrow\quad C = \frac{I_m}{\omega V_m}.
Agora fazemos a conta com as unidades corretas:
I_m = 628{,}32\times10^{-6}\,\mathrm{A},\qquad V_m = 25\times10^{-3}\,\mathrm{V},\qquad \omega \approx 502\,654{,}82\\ \mathrm{rad/s}.
Calcular o denominador:
\omega V_m \approx 502\,654{,}82 \times 25\times10^{-3} = 502\,654{,}82 \times 0{,}025 = 12\,566{,}3706.
Agora C:
C \approx \frac{628{,}32\times10^{-6}}{12\,566{,}3706} \approx 5{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{F}.
Converter para \mu\mathrm{F} (lembrando 1\,\mu\mathrm{F}=10^{-6}\,\mathrm{F}):
C = 5{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{F} = 0{,}05\\ \mu\mathrm{F}.
Também é comum dizer C = 50\\ \mathrm{nF} (já que 1\,\mathrm{nF}=10^{-9}\,\mathrm{F}).

Passo 6

Calcular a impedância capacitiva Z_C.
Fórmula:
Z_C=\frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C}.
Primeiro calculamos \omega C:
\omega C \approx 502\,654{,}82 \times 5{,}0\times10^{-8} = 0{,}0251327412.
Módulo de Z_C:
|Z_C| = \frac{1}{\omega C} \approx \frac{1}{0{,}0251327412} \approx 39{,}7887\\ \Omega.
Arredondando razoavelmente:
|Z_C| \approx 39{,}79\\ \Omega.
Fasor/forma polar:
Z_C \approx 39{,}79\\ \Omega \angle -90^\circ.
Forma retangular (com j):
Z_C \approx -j\,39{,}79\\ \Omega.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar sossegado): com V_m=25\times10^{-3}\,\mathrm{V} e |Z_C|\approx 39{,}79\,\Omega,
I_m = \frac{V_m}{|Z_C|} \approx \frac{0{,}025}{39{,}79} \approx 0{,}00062832\\ \mathrm{A} = 628{,}32\,\mu\mathrm{A},
que confere exatamente com o dado do enunciado. Ótimo — tudo consistente!

Resposta

a) \omega = 2\pi\cdot80\,000 = 160\,000\pi\\ \mathrm{rad/s} \approx 502\,654{,}82\\ \mathrm{rad/s}
b) \phi_i = +90^\circ (ou \tfrac{\pi}{2} rad)
c) C = 0{,}05\\ \mu\mathrm{F}
d) Z_C \approx 39{,}79\\ \Omega\angle -90^\circ (ou Z_C \approx -j\,39{,}79\\ \Omega)

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