1. A tensão de tração S em um fio é definida como a força de tração por unidade de área da seção transversal do fio. Demonstre que a velocidade das ondas transversais em um fio é v=(S / rho)^1 / 2 onde rho é a massa específica do fio. (b) Admita que a tensão máxima para o fio seja de 720 MPa , incluído um fator de segurança razoável para o aço de que é feito o fio. A massa específica do aço é de 7,8 g / cm^3. Qual a velocidade máxima de uma onda transversal em um fio de aço?

Passo 1

Beleza, o enunciado fala que a tensão de tração S num fio é a força de tração por área da seção (S = F/A) e pede duas coisas:
(a) provar que a velocidade de uma onda transversal no fio é
v = raizSrho
onde ρ é a massa específica (densidade volumétrica) do fio;
(b) usando Sₘₐₓ = 720 MPa e ρ (aço) = 7,8 g/cm³, calcular essa velocidade máxima.
O assunto aqui é ondas em cordas/fios: precisamos da fórmula da velocidade em função da tensão e da massa por comprimento, e das relações S = F/A e μ = ρA.

Passo 2

Teoria básica de ondas em corda esticada:
  • A velocidade de uma onda transversal numa corda depende da força de tensão T e da massa por unidade de comprimento μ.
  • Resultado padrão (vem da equação da onda): v = raizTmu,
Aqui T é a força (em newtons) que “puxa” o fio e μ = m/L é a massa por metro de fio.

Passo 3

Agora usamos as definições do enunciado:
  • A tensão de tração por área é S = T/A ⇒ T = S A.
  • A massa por comprimento da corda é μ = m/L, mas como m = ρ V = ρ (A L), então μ = ρ A.
    Substituindo em v = √(T/μ):
v = raizTmu = raizS,Arho,A = raizSrho

Passo 4

Parte (b): colocar números.
  • Sₘₐₓ = 720 MPa = 720×10^6 N/m².
  • ρ = 7,8 g/cm³ = 7,8×10^3 kg/m³.
    Logo
vmax = raiz720times10^67,8times10^3 = raiz9,2307times10^4 approx 3,04times10^2 m/s

Resposta

v = , e para o aço com Sₘₐₓ=720 MPa e ρ=7,8 g/cm³ obtém-se vₘₐₓ ≃ 3,0×10² m/s.

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