5.8-6 Uma viga de seção transversal retangular (largura b e altura h ) suporta uma carga uniformemente distribuída ao longo de todo seu comprimento L. As tensões permitidas na flexão e no cisalhamento são sigma max e tau max , respectivamente.
(a) Se a viga tem apoios simples, qual é o comprimento do vão L0 abaixo do qual a tensão de cisalhamento determina a carga permitida e acima do qual a tensão de flexão é determinante?
(b) Se a viga é apoiada como uma viga engastada, qual é o comprimento L0 abaixo do qual a tensão de cisalhamento determina a carga permitida e acima do qual a tensão de flexão é determinante?

Passo 1

O enunciado trata de uma viga de seção retangular (largura b, altura h) submetida a uma carga uniformemente distribuída de intensidade w (força por comprimento) ao longo de um vão L. Temos duas tensões críticas: a tensão de flexão, limitada por sigmamax, e a tensão de cisalhamento, limitada por taumax. Para cada modo de apoio (simples ou engastado), vamos:
  1. Calcular o momento fletor máximo Mmax e a força cortante máxima Vmax.
  2. Escrever as restrições sigma<=sigmamax e tau<=taumax em função de w e L.
  3. Igualar as duas expressões de w para encontrar o comprimento crítico L0.

Passo 2

Caso viga apoiada simplesmente:
Mmax=wL^28,
Vmax=wL2

Passo 3

Na seção retangular temos
I=b,h^312, ymax=h2
Logo, a tensão de flexão máxima é
sigma=Mmax,ymaxI =l(wL^2/8r),(h/2)(b,h^3/12) =3,w,L^24,b,h^2,
impondo sigma<=sigmamax obtemos
w<= wrm bend =4,b,h^2,sigmamax3,L^2
A tensão de cisalhamento máxima na seção é
tau=32,Vmaxb,h =32,(wL/2)b,h =3,w,L4,b,h,
impondo tau<=taumax
w<= wrm shear =4,b,h,taumax3,L

Passo 4

O comprimento crítico L0 ocorre quando as duas restrições fornecem o mesmo w. Igualando
4,b,h^2,sigmamax3,L0^2 = 4,b,h,taumax3,L0
leva a
h,sigmamax =taumax,L0 Longrightarrow L0 =sigmamax,htaumax

Passo 5

Caso viga engastada em ambas as extremidades:
Mmax=wL^212,
Vmax=wL2

Passo 6

Repetindo os cálculos de tensões, a partir de I=b,h^3/12 e ymax=h/2:
sigma =Mmax,ymaxI =l(wL^2/12r),(h/2)(b,h^3/12) =w,L^22,b,h^2,
tau =32,Vmaxb,h =3,w,L4,b,h
Impondo sigma<=sigmamax e tau<=taumax resulta em
w<= 2,b,h^2,sigmamaxL^2 e w<= 4,b,h,taumax3,L

Passo 7

Igualando essas duas expressões para w obtemos
2,b,h^2,sigmamaxL0^2 = 4,b,h,taumax3,L0 Longrightarrow L0 =3,h,sigmamax2,taumax

Resposta

(a) Para apoios simples:
L0=sigmamax,htaumax
(b) Para engaste em ambas as extremidades:
L0=3,sigmamax,h2,taumax

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