Uma das tensões de fase de uma carga equilibrada trifásica em Y é dada por:
v_{C}(t)=277 \sqrt{2} \cos \left(\omega t+45^{0}\right)[V, s]
A sequência de fases é A B C. Determine os fasores das tensões de linha \widehat{V}_{A B}, \widehat{V}_{B C} e \widehat{V}_{C A} (módulos em valores eficazes). Desenhe um diagrama fasorial representando as tensões de fase e de linha.

Passo 1

O enunciado dá uma tensão de fase da carga equilibrada em conexão Y e pede os fasores das tensões de linha (módulos em valores eficazes) e um diagrama fasorial.
Dados fornecidos:
  • Uma das tensões de fase (fase C, no domínio do tempo):
v_{C}(t)=277\sqrt{2}\cos\!\big(\omega t+45^\circ\big)\,[\text{V}]
  • A sequência de fases é A\,B\,C (ou seja, sequência positiva ABC).
O que se pede:
  • Determinar os fasores \widehat{V}_{AB},\\ \widehat{V}_{BC},\\ \widehat{V}_{CA} em valores eficazes (RMS) e ângulos.
  • Desenhar (orientar como desenhar) um diagrama fasorial com as tensões de fase e de linha.

Passo 2

Transformar a tensão no tempo em fasor (conversão amplitude → valor eficaz e extrair ângulo).
Regra: se v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi), o fasor em valor eficaz é
\widehat{V} = V_{\text{rms}}\angle\varphi, \qquad V_{\text{rms}}=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}.
Aqui V_m=277\sqrt{2}. Portanto
V_{\text{rms}}=\dfrac{277\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=277.
Logo o fasor da fase C é
\widehat{V}_C=277\angle 45^\circ\\ [\text{V}].

Passo 3

Usar a informação da sequência de fases A\,B\,C para obter os fasores das fases A e B a partir de \widehat{V}_C.
Interpretação da sequência positiva A\,B\,C: cada fase seguinte (B em relação a A, e C em relação a B) está atrasada de 120^\circ. Assim:
\widehat{V}_B=\widehat{V}_A\angle{-120^\circ},\qquad \widehat{V}_C=\widehat{V}_A\angle{-240^\circ}=\widehat{V}_A\angle{+120^\circ}.
Isolando \widehat{V}_A a partir de \widehat{V}_C:
\widehat{V}_A=\widehat{V}_C\angle{-120^\circ}.
Aplicando aos valores:
\widehat{V}_A=277\angle(45^\circ-120^\circ)=277\angle(-75^\circ).
E \widehat{V}_B=\widehat{V}_A\angle{-120^\circ}, então
\widehat{V}_B=277\angle(-75^\circ-120^\circ)=277\angle(-195^\circ)=277\angle 165^\circ.
Resumo das tensões de fase (RMS):
\widehat{V}_A=277\angle(-75^\circ),\qquad \widehat{V}_B=277\angle 165^\circ,\qquad \widehat{V}_C=277\angle 45^\circ.

Passo 4

Definição e fórmula útil para tensões de linha: em notação fasorial,
\widehat{V}_{AB}=\widehat{V}_A-\widehat{V}_B,\qquad \widehat{V}_{BC}=\widehat{V}_B-\widehat{V}_C,\qquad \widehat{V}_{CA}=\widehat{V}_C-\widehat{V}_A.
Existe uma identidade prática para sistema equilibrado positivo que facilita muito:
se as tensões de fase têm módulo V_{ph} e ângulos \theta_A,\theta_B,\theta_C com sequência A\,B\,C, então (exemplo para AB):
\widehat{V}_{AB}=\widehat{V}_A-\widehat{V}_B =V_{ph}\big(e^{j\theta_A}-e^{j(\theta_A-120^\circ)}\big).
Desenvolvendo isso (usar exponenciais e identidades trigonométricas) chega-se a
\widehat{V}_{AB}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\theta_A+30^\circ).
Analogamente,
\widehat{V}_{BC}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\theta_B+30^\circ),\qquad \widehat{V}_{CA}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\theta_C+30^\circ).
Explicando intuitivamente: o módulo da tensão de linha em sistema equilibrado é \sqrt{3} vezes o módulo da tensão de fase, e cada tensão de linha fica deslocada +30^\circ em relação à fase correspondente.

Passo 5

Aplicar a fórmula aos valores que já temos.
Temos V_{ph}=277 e \theta_A=-75^\circ,\\ \theta_B=165^\circ,\\ \theta_C=45^\circ.
Calcular os módulos:
\sqrt{3}\,V_{ph}=277\sqrt{3}\approx 480\\ \text{V}.
Calcular ângulos:
  • Para AB: \theta_A+30^\circ=-75^\circ+30^\circ=-45^\circ.
  • Para BC: \theta_B+30^\circ=165^\circ+30^\circ=195^\circ, que é equivalente a -165^\circ.
  • Para CA: \theta_C+30^\circ=45^\circ+30^\circ=75^\circ.
Portanto os fasores das tensões de linha (em RMS) são:
\widehat{V}_{AB}=277\sqrt{3}\angle(-45^\circ)\approx 480\angle(-45^\circ)\\ \text{V},
\widehat{V}_{BC}=277\sqrt{3}\angle(195^\circ)\approx 480\angle(-165^\circ)\\ \text{V},
\widehat{V}_{CA}=277\sqrt{3}\angle(75^\circ)\approx 480\angle 75^\circ\\ \text{V}.

Passo 6

Verificação numérica direta (opcional, mostra passo a passo das contas em forma retangular):
Converter \widehat{V}_A e \widehat{V}_B para retangular (aproximações):
\widehat{V}_A=277\angle(-75^\circ)\approx 71{,}69 - j\,267{,}56\\ \text{V},
\widehat{V}_B=277\angle 165^\circ\approx -267{,}56 + j\,71{,}69\\ \text{V}.
Fazendo \widehat{V}_{AB}=\widehat{V}_A-\widehat{V}_B:
\widehat{V}_{AB}\approx (71{,}69-(-267{,}56)) + j(-267{,}56-71{,}69) =339{,}25 - j\,339{,}25.
Módulo e ângulo:
|\widehat{V}_{AB}|=\sqrt{339{,}25^{2}+(-339{,}25)^{2}}=339{,}25\sqrt{2}=277\sqrt{3}\approx 480\\ \text{V},
\angle\widehat{V}_{AB}=\arctan\!\left(\dfrac{-339{,}25}{339{,}25}\right)=-45^\circ,
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Como desenhar o diagrama fasorial (instruções passo a passo):
  1. Trace um eixo complexo com real (horizontal) e imaginário (vertical).
  2. Desenhe as tensões de fase (vetores de comprimento 277):
    • \widehat{V}_A=277\angle(-75^\circ): vetor saindo da origem com ângulo -75^\circ (75° abaixo do eixo real positivo).
    • \widehat{V}_B=277\angle 165^\circ: vetor com ângulo 165^\circ (15° acima do eixo real negativo).
    • \widehat{V}_C=277\angle 45^\circ: vetor com ângulo 45^\circ (no quadrante I).
      Coloque os três igualmente espaçados de 120^\circ (sequência ABC).
  3. Desenhe as tensões de linha (vetores de comprimento \approx 480):
    • \widehat{V}_{AB}=480\angle(-45^\circ): vetor de -45^\circ.
    • \widehat{V}_{BC}=480\angle(-165^\circ): vetor de -165^\circ.
    • \widehat{V}_{CA}=480\angle 75^\circ: vetor de 75^\circ.
      Observe que cada tensão de linha está deslocada +30^\circ em relação à fase associada (por exemplo, \widehat{V}_{AB} está a +30^\circ de \widehat{V}_A: -75^\circ+30^\circ=-45^\circ).
  4. Indique magnitudes (277 para fases, 480 para linhas) e escreva os ângulos ao lado de cada vetor.
  5. Verifique visualmente que os vetores de fase estão espaçados 120^\circ e que os vetores de linha têm magnitude maior ( \sqrt{3} vezes) e girados +30^\circ em relação às fases correspondentes.
Dica amigável: faça o desenho em papel milimetrado ou com um software simples (desenho vetorial), marcando os ângulos com transferidor para ficar certinho — isso fica bem claro e ajuda a fixar a relação \sqrt{3} e 30^\circ.

Resposta

\widehat{V}_{AB}=277\sqrt{3}\angle(-45^\circ)\\ \text{V}\approx 480\angle(-45^\circ)\\ \text{V}
\widehat{V}_{BC}=277\sqrt{3}\angle(195^\circ)\\ \text{V}\approx 480\angle(-165^\circ)\\ \text{V}
\widehat{V}_{CA}=277\sqrt{3}\angle(75^\circ)\\ \text{V}\approx 480\angle 75^\circ\\ \text{V}

Exercícios relacionados