Uma das tensões de linha de um sistema trifásico equilibrado é:
v_{A B}(t)=1500 \sqrt{2} \cos \left(\omega t+30^{0}\right)[V, s]
e a carga está ligada em Y. Determine o fasor da tensão de fase \widehat{V}_{A} (módulo em valor eficaz) supondo sequência de fase ABC .

Passo 1

O enunciado dá claramente a tensão de linha v_{A B}(t) e pede o fasor da tensão de fase \widehat{V}_{A} (módulo em valor eficaz), supondo sequência de fase ABC e carga em Y. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • v_{A B}(t)=1500\sqrt{2}\cos\!\left(\omega t+30^\circ\right)\\ \text{V}.
  • A carga está ligada em \mathrm{Y}.
  • Sequência de fases é ABC (sequência positiva).
    O que devemos encontrar: o fasor \widehat{V}_{A} expresso em valor eficaz (RMS) e com ângulo.

Passo 2

Converter a tensão de linha no domínio do tempo para o fasor (em RMS). Regra: se v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi), o fasor em RMS é \dfrac{V_m}{\sqrt{2}}\angle\varphi.
Aqui V_m=1500\sqrt{2} e \varphi=30^\circ. Portanto o fasor da tensão linha AB em RMS é
\widehat{V}_{AB}=\frac{1500\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\angle 30^\circ=1500\angle 30^\circ\\ \text{V (RMS)}.

Passo 3

Relacionar tensões de linha e de fase em sistema equilibrado Y com sequência positiva (ABC). Em geral vale
\widehat{V}_{AB}=\widehat{V}_A-\widehat{V}_B.
Para sequência ABC (positiva) as fases formam um deslocamento de -120^\circ entre si:
\widehat{V}_B=\widehat{V}_A\angle -120^\circ=\widehat{V}_A e^{-j120^\circ}.
Substituindo:
\widehat{V}_{AB}=\widehat{V}_A\bigl(1-e^{-j120^\circ}\bigr).

Passo 4

Calcular o fator 1-e^{-j120^\circ}. Primeiro escrevendo e^{-j120^\circ}:
e^{-j120^\circ}=\cos120^\circ - j\sin120^\circ=-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
1-e^{-j120^\circ}=1-(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2})=\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Magnitude e ângulo desse número:
\left|1-e^{-j120^\circ}\right|=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{3}, \qquad \arg\left(1-e^{-j120^\circ}\right)=30^\circ.
Portanto
1-e^{-j120^\circ}=\sqrt{3}\angle 30^\circ.

Passo 5

Isolar \widehat{V}_A da relação \widehat{V}_{AB}=\widehat{V}_A\bigl(1-e^{-j120^\circ}\bigr):
\widehat{V}_A=\frac{\widehat{V}_{AB}}{1-e^{-j120^\circ}}=\frac{1500\angle 30^\circ}{\sqrt{3}\angle 30^\circ}.
Os ângulos 30^\circ se cancelam, restando apenas a divisão de magnitudes:
\widehat{V}_A=\frac{1500}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ=500\sqrt{3}\angle 0^\circ\\ \text{V (RMS)}.
Valor numérico aproximado: 500\sqrt{3}\approx 866{,}0\\ \text{V (RMS)}.

Passo 6

Verificação rápida (consistência): usando \widehat{V}_A=500\sqrt{3}\angle 0^\circ e \widehat{V}_B=\widehat{V}_A\angle -120^\circ, calcula-se
\widehat{V}_A-\widehat{V}_B=500\sqrt{3}\bigl(1-e^{-j120^\circ}\bigr)=500\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\angle 30^\circ=1500\angle 30^\circ,
que coincide com \widehat{V}_{AB} obtido no Passo 2. Tudo consistente.

Resposta

\widehat{V}_{A}=500\sqrt{3}\angle 0^\circ\\ \text{V (RMS)}

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