O tensor abaixo descreve o estado de tensão em um ponto de um sólido genérico. Com base nesse tensor, determine: (a) os invariantes de tensão; (b) as tensões principais; © a máxima tensão de cisalhamento e (d) as direções principais.
sigmai j=[ccc 2 & 1 & -4 1 & 4 & 0 -4 & 0 & 1 ]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um tensor de tensões 3×3
sigmaij= 2 & 1 & -4 1 & 4 & 0 -4 & 0 & 1
e pede:
(a) invariantes de tensão;
(b) tensões principais (autovalores);
© máxima tensão de cisalhamento;
(d) direções principais (autovetores).
Conteúdo: teoria de invariantes, polinômio característico e problemas de autovalores/autovetores. Vamos usar cálculo de traço, determinantes de submatrizes, resolver o polinômio característico e depois achar vetores próprios.

Passo 2

Vamos achar os invariantes
  1. I₁ = traço(σ) = σ₁₁+σ₂₂+σ₃₃
I1 = 2 + 4 + 1 = 7
  1. I₂ = soma dos determinantes das submatrizes principais 2×2
I2 =det!4&00&1 +det!2&-4-4&1 +det!2&11&4 =4 + (2cdot1 - (-4)^2) + (2cdot4-1cdot1) =4 + (2-16) + (8-1) =-3
  1. I₃ = det(σ)
    Expandindo por cofactor na primeira linha
I3 =2det!4&00&1 -1det!1&0-4&1 +(-4)det!1&4-4&0 =2cdot4 -1cdot1 -4cdot(1cdot0-4cdot(-4)) =8 -1 -4cdot16 =-57

Passo 3

Agora o polinômio característico
det(sigma - lambda I)=0 Longrightarrow lambda^3 - I1,lambda^2 + I2,lambda - I3=0
Substituindo
lambda^3 -7lambda^2 -3lambda +57=0
Resolvendo (por tentativa de raízes racionais ou numérico), encontramos as três raízes reais aproximadas:
lambda1approx5.78, lambda2approx3.75, lambda3approx-2.53

Passo 4

As tensões principais são justamente esses autovalores:
sigma1=5.78, sigma2=3.75, sigma3=-2.53

Passo 5

A máxima tensão de cisalhamento num ponto 3D é
taumax=sigmamax-sigmamin2 =5.78 - (-2.53)2approx4.16

Passo 6

Para cada autovalor n1approx(0.704,;0.396,;-0.589) achamos o vetor não-nulo n2approx(-0.226,;0.917,;0.327) que satisfaz n3approx(-0.659,;0.101,;-0.746) . Sem pular contas, dá:
para ,
, normalizando:
para ,
, normalizando:
para ,
, normalizando:

Resposta

(a) n1approx(0.704,,0.396,,-0.589), n2approx(-0.226,,0.917,,0.327), n3approx(-0.659,,0.101,,-0.746) .
(b) Tensões principais .
© .
(d) Direções principais (autovetores normalizados):

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