Os tensores taxa de deformação e de stress em um dado ponto de um fluido são dados por
D_{i j}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 4 \\\\ 6 & 3 & 2 \\\\ 4 & 2 & 5 \end{array}\right) \quad \sigma_{i j}=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 0 & -1 \\\\ 0 & -2 & 7 \\\\ -1 & 7 & 8 \end{array}\right)
sendo seus elementos medidos \mathrm{em} \mathrm{s}^{-1} e \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}, respectivamente. Supondo ausência de trocas de calor, determine a densidade de potência dissipada \rho \frac{d u}{d t}=\sigma_{i j} D_{i j}, supondo que a densidade no ponto é \rho=0.1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado fornece os tensores de taxa de deformação D_{ij} e de tensão \sigma_{ij} num ponto do fluido, medidos em \mathrm{s^{-1}} e \mathrm{N/m^2}, respectivamente:
D_{ij}=\begin{pmatrix}1 & 6 & 4 \\\\ 6 & 3 & 2 \\\\ 4 & 2 & 5\end{pmatrix}, \quad \sigma_{ij}=\begin{pmatrix}4 & 0 & -1 \\\\ 0 & -2 & 7 \\\\ -1 & 7 & 8\end{pmatrix}.
Pede‐se a densidade de potência dissipada, que, na ausência de trocas de calor, é dada por
\rho\,\frac{du}{dt} \;=\;\sigma_{ij}\,D_{ij},
sabendo que \rho=0{,}1,kg/m ^3. Vamos calcular primeiro \sigma_{ij}D_{ij}.

Passo 2

Pela convenção de Einstein,
\sigma_{ij}D_{ij} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\sigma_{ij}\,D_{ij}.

Passo 3

Calculamos os produtos elemento a elemento e somamos por linha:
Linha i=1:
\sigma_{11}D_{11}+\sigma_{12}D_{12}+\sigma_{13}D_{13} =4\cdot1 + 0\cdot6 + (-1)\cdot4 = 0.
Linha i=2:
\sigma_{21}D_{21}+\sigma_{22}D_{22}+\sigma_{23}D_{23} =0\cdot6 + (-2)\cdot3 + 7\cdot2 = 8.
Linha i=3:
\sigma_{31}D_{31}+\sigma_{32}D_{32}+\sigma_{33}D_{33} =(-1)\cdot4 + 7\cdot2 + 8\cdot5 = 50.

Passo 4

Somando as três linhas obtemos
\sigma_{ij}D_{ij} = 0 + 8 + 50 = 58.
Como \sigma_{ij}D_{ij} tem unidade de \mathrm{N/m^2}\times \mathrm{s^{-1}}=\mathrm{W/m^3}, segue
\rho\,\frac{du}{dt} = 58\;\mathrm{W/m^3}.

Passo 5

Se quisermos a variação de energia interna por unidade de massa,
\frac{du}{dt} =\frac{\sigma_{ij}D_{ij}}{\rho} =\frac{58}{0{,}1} =580\;\mathrm{W/kg}.

Resposta

A densidade de potência dissipada é \rho\,\tfrac{du}{dt}=58\;\mathrm{W/m^3}.
Correspondendo a uma taxa por unidade de massa \tfrac{du}{dt}=580\;\mathrm{W/kg}.

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