O campo de temperaturas em um material contínuo tem a forma
. Dado que o campo de velocidades
tem a forma
encontre a derivada material
.
tem a forma
Passo 1
O enunciado dá o campo de temperatura em função do tempo
e das coordenadas espaciais
:
e o campo de velocidades
Queremos a derivada material, também chamada de derivada substantiva,
Para isso, vamos calcular separadamente
, o gradiente de
e depois o produto
.
Passo 2
Definindo
temos
A derivada parcial em relação a
é
Passo 3
Para o gradiente em relação a
usamos
Logo,
Em vetor,
Passo 4
O termo convectivo é
Calculamos
Portanto
Passo 5
Somando os dois termos da derivada material,