O campo de temperaturas em um material contínuo tem a forma \theta(t)=\frac{e^{-2 t}}{\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\right)}. Dado que o campo de velocidades
tem a forma
\begin{aligned} & v_{1}=X_{2}-2 X_{3}, \\\ & v_{2}=X_{3}+X_{1}, \\\ & v_{3}=2 X_{1}-X_{2}, \end{aligned}
encontre a derivada material \dot{\theta}=\frac{d \theta}{d t}.

Passo 1

O enunciado dá o campo de temperatura em função do tempo t e das coordenadas espaciais X_{1},X_{2},X_{3}:
\theta(t,X_{1},X_{2},X_{3}) = \frac{e^{-2t}}{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}
e o campo de velocidades
v_{1}=X_{2}-2X_{3},\quad v_{2}=X_{3}+X_{1},\quad v_{3}=2X_{1}-X_{2}.
Queremos a derivada material, também chamada de derivada substantiva,
\dot\theta = \frac{d\theta}{dt} = \frac{\partial \theta}{\partial t} + v_{1}\frac{\partial \theta}{\partial X_{1}} + v_{2}\frac{\partial \theta}{\partial X_{2}} + v_{3}\frac{\partial \theta}{\partial X_{3}}.
Para isso, vamos calcular separadamente \partial\theta/\partial t, o gradiente de \theta e depois o produto v\cdot\nabla\theta.

Passo 2

Definindo
R^{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2},
temos
\theta = e^{-2t}\,R^{-2}.
A derivada parcial em relação a t é
\frac{\partial \theta}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{-2t}R^{-2}\bigr) = -2\,e^{-2t}R^{-2} = -2\,\theta.

Passo 3

Para o gradiente em relação a X_{i} usamos
\frac{\partial}{\partial X_{i}}\bigl(R^{-2}\bigr) = -2\,X_{i}\,R^{-4}.
Logo,
\frac{\partial \theta}{\partial X_{i}} = e^{-2t}\,\frac{\partial}{\partial X_{i}}\bigl(R^{-2}\bigr) = -2\,X_{i}\,e^{-2t}\,R^{-4}.
Em vetor,
\nabla\theta = -2\,e^{-2t}\,R^{-4}\,(X_{1},X_{2},X_{3}).

Passo 4

O termo convectivo é
v\cdot\nabla\theta = \sum_{i=1}^{3}v_{i}\,\frac{\partial \theta}{\partial X_{i}} = -2\,e^{-2t}\,R^{-4} \sum_{i=1}^{3}v_{i}X_{i}.
Calculamos
\sum_{i=1}^{3}v_{i}X_{i} = X_{1}(X_{2}-2X_{3}) + X_{2}(X_{3}+X_{1}) + X_{3}(2X_{1}-X_{2}) = 2\,X_{1}X_{2}.
Portanto
v\cdot\nabla\theta = -2\,e^{-2t}\,R^{-4}\,(2X_{1}X_{2}) = -4\,X_{1}X_{2}\,\frac{e^{-2t}}{R^{4}}.

Passo 5

Somando os dois termos da derivada material,
\dot\theta = \frac{\partial \theta}{\partial t} + v\cdot\nabla\theta = -2\,\frac{e^{-2t}}{R^{2}} \;-\; 4\,X_{1}X_{2}\,\frac{e^{-2t}}{R^{4}}.

Resposta

\boxed{ \dot\theta = -2\,\frac{e^{-2t}}{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}} \;-\; 4\,X_{1}X_{2}\,\frac{e^{-2t}}{\bigl(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\bigr)^{2}} }.

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