Considere uma porção de material inicialmente ocupando um volume
com centro na origem do sistema de coordenadas. Dado que o campo de velocidades tem a forma
, encontre o volume ocupado pelo material em um tempo arbitrário
.
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade
e um volume inicial
. Queremos achar o volume
ocupado pelo material no instante
. Para isso, vamos usar a relação entre o divergente do campo de velocidades e a taxa de variação do volume.
Passo 2
Calculemos o divergente de
. Como
temos
Logo,
Passo 3
A relação geral para a taxa de variação do volume
de um elemento fluido é
Substituindo
, obtemos o ODE
Passo 4
Resolvendo por separação de variáveis,
As integrais dão
logo
Resposta
O volume ocupado pelo material no tempo
é