Considere uma porção de material inicialmente ocupando um volume V_{0} com centro na origem do sistema de coordenadas. Dado que o campo de velocidades tem a forma \vec{v}=k\left(X_{1} t, X_{2} t, X_{3} t\right), encontre o volume ocupado pelo material em um tempo arbitrário t.

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade
\vec{v}(X_1,X_2,X_3,t)=k\bigl(X_1\,t,\;X_2\,t,\;X_3\,t\bigr)
e um volume inicial V_{0}. Queremos achar o volume V(t) ocupado pelo material no instante t. Para isso, vamos usar a relação entre o divergente do campo de velocidades e a taxa de variação do volume.

Passo 2

Calculemos o divergente de \vec{v}. Como
v_1 = k\,X_1\,t,\quad v_2 = k\,X_2\,t,\quad v_3 = k\,X_3\,t,
temos
\frac{\partial v_1}{\partial X_1} = k\,t,\quad \frac{\partial v_2}{\partial X_2} = k\,t,\quad \frac{\partial v_3}{\partial X_3} = k\,t.
Logo,
\nabla\!\cdot\!\vec{v} = \frac{\partial v_1}{\partial X_1} + \frac{\partial v_2}{\partial X_2} + \frac{\partial v_3}{\partial X_3} = 3\,k\,t.

Passo 3

A relação geral para a taxa de variação do volume V(t) de um elemento fluido é
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = (\nabla\!\cdot\!\vec{v})\,V.
Substituindo \nabla\!\cdot\!\vec{v}=3k\,t, obtemos o ODE
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =3\,k\,t\,V.

Passo 4

Resolvendo por separação de variáveis,
\frac{1}{V}\,\mathrm{d}V =3\,k\,t\,\mathrm{d}t \quad\Longrightarrow\quad \int_{V_0}^{V(t)}\frac{1}{V}\,\mathrm{d}V =\int_{0}^{t}3\,k\,t'\,\mathrm{d}t'.
As integrais dão
\ln\!\frac{V(t)}{V_{0}} =\frac{3\,k\,t^{2}}{2},
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V(t) =V_{0}\,\exp\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\,k\,t^{2}\Bigr).

Resposta

O volume ocupado pelo material no tempo t é
V(t)=V_{0}\,\exp\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\,k\,t^{2}\Bigr).

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